 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
107
Проще всего представить график выпуклой (или вогнутой) функции на плоскости (рис. 11.5).
Правая часть неравенства (11.9) представляет собой отрезок АВ, соединяющий точки
(y,f(y))=АиВ=(z,f(z)), причем каждая точка этого отрезка (на рисунке взята точка С) выше
соответствующей точки графика (на рисунке точка D). Если функция f(x) достаточно гладкая, то
условия выпуклости (вогнутости) можно выразить через ее вторую производную.
Действительно, согласно теореме Лагранжа в некоторой точке Е (рис. 11.5) касательная к графику
функции АВ лежит ниже этого графика. Уравнение этой касательной Y =
f(
) + f'’(
)(x-
),
следовательно, f(x)- f(
) – f’(
)(x-
)
0, откуда в силу формулы Тейлора
,
0
)
))(
(
(
"
2
1
2
x
x
f
где 0<
<1.
Деля последнее неравенство на (х-
)² и далее переходя к пределу при х
>
, получаем, что
f”(
)
0.
(11.10)
В силу произвольности точки
это неравенство справедливо на всем отрезке [у, z] и является
условием выпуклости (в случае вогнутости справедливо обратное неравенство). Для иллюстрации
рассмотрим два простых примера.
Пример 1. f(x) =e
x
, x
(-
,+
), f
(“)
= e
х
> 0, следовательно, показательная функция выпукла на всей
оси.
Пример 2. f(x) = sin x, x
[0,2
], f”(x) = - sin x, следовательно, функция sin x вогнута на отрезке [0,
?]
и
выпукла на отрезке [
?,
2 ?].
Прежде чем сформулировать задачу поиска, отметим, что оптимизационная задача
f(x)
>
min, х
Р (f(x)
>
max, х
Р),
(11.11)
где в случае max целевая функция f (х) выпукла, в случае min
– вогнута и Р – полиэдр, называется
задачей выпуклого программирования. Ясно, что задача линейного программирования является ее
частным случаем.
Задача поиска. Объект, подлежащий обнаружению, находится в одном из п районов с
вероятностями р1,..., р
п
соответственно. Для поиска объекта имеется общий ресурс времени Т (т. е. при
t>T поиск считается нецелесообразным). Известно, что при поиске в i-м районе в течение времени t
i
,
вероятность обнаружения объекта (при условии, что он там находится) выражается через функцию
Бернулли 1-
i
i
t
a
e
, где
i
>0 – заданное число (формула показывает, что за бесконечное время t
i
объект
был бы найден). Требуется распределить по районам время наблюдения (поиска) так, чтобы
максимизировать вероятность обнаружения объекта. Соответствующая задача оптимизации имеет вид
n
i
t
i
n
i
i
e
p
t
t
g(
1
1
max,
)
1
(
)
,...,
(11.12)
n
i
i
T
t
1
,
(11.13)
.
,...,
2
,
1
,i
0
n
t
i
(11.14)
Из теории вероятностей хорошо известно, что