 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
71
• торговая фирма оплачивает только исправные изделия, а дефектные заменяются исправными;
• при большой партии распределение вероятностей случайной переменной - числа дефектных
изделий
Z
- подчиняется биномиальному закону. Функция вероятности зависит от действительной
доли бракованных изделий в принимаемой партии W:
• контролер наблюдает число Z в выборке объема п;
• d(Z) = а - статистическая нерандомизированная функция решения контролера. Контролер может
принять одно из двух значений: a1 (принять) или a2 (не принять партию).
Однако нам необходимо осуществить оптимальный выбор критического числа
k, поэтому
перейдем к статистической игре. В этой игре используем информацию о числе
Z забракованных
изделий в выборке объемом п; распределение Z зависит от состояния природы W - доли дефектных
изделий.
Решение. Для состояния природы W и статистической нерандомизированной функции решения
d(Z), определяющей критическое число k при контроле партии готовых изделий, можно в
статистической игре (
,
D, R) найти функцию платежей или функцию риска R(W, d):
Это выражение можно раскрыть, используя биномиальное распределение.
Далее в качестве целевой функции d(Z), определяющей оптимальное критическое число k выберем
байесовскую нерандомизированную функцию. Пусть процесс производства является отлаженным,
тогда доля дефектных изделий в партии W будет иметь бета-распределение, заданное на интервале
[0,1]. В зависимости от принятых параметров р и q можно определить априорное распределение доли
дефектных изделий W в принимаемых партиях.
Таким образом, априорным распределением
состояний природы W принимается бета-
распределение с функцией плотности
Известно, что существует связь между бета- и гамма-функциями:
Байесовский риск при этом распределении будет
Этот байесовский риск следует минимизировать относительно k. При известных размерах партии
N, выборки п, затрат
C1
и С2, параметров априорного бета-распределения р и
q байесовский риск
будет только функцией k:
r(
, d) = f(k).
Теперь нужно найти такое натуральное k, чтобы удовлетворялись неравенства
f(k)
f(k+1) и f(k)
f(k–1)
Рассмотрим неравенство f(k)
f(k+1), из которого следует, что f(k+1) – f(k)
0.
Используя связи между бета- и гамма-распределениями
)
(
)
(q
)
(
)
,
(
q
p
p
q
p
B
и формулу гамма-
функции Г(n) = (n–1)! , где (n–1)! - факториал, получим f(k+1) – f(k)
0, если С2(р + k + 1)/(р + q + п)
–
С1
0.
Значит,
(p+k+1)
2
1
C
C
(p+q+n) и неравенство
f(k)
f(k+ 1)
выполняется при
k
2
1
C
C
(p+q+n) -
(p+1).
Обратимся к неравенству f(k–1) – f(k)
0 и найдем значение k, для которого оно выполняется. При
этом необходимо преобразовать байесовский риск r(
, d) = f(k), после чего получаем неравенство f(k–