 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
58
Можно выделить область, где функция
1
будет лучшей, - в диапазоне состояний природы
1
<
<
2
. Вторая функция
2
будет лучшей для состояния природы при
<
1
и при
>
2
.
Функция
D называется допустимой, если в множестве D* нет никакой другой функции
решения
0
, которая была бы лучшей
для всех
. Данная функция для каждого
должна
удовлетворять неравенству R(
,
0
)
R(
,
). Таким образом, допустимая функция решения не будет
доминирующей стратегией статистика в статистической игре.
Рассмотрение только допустимых функций существенно уменьшит множество
D* до множества
допустимых функций решения.
Отметим, что байесовские функции решения входят в класс допустимых функций.
Определение. Функция решения
0
D* называется байесовской относительно априорного
распределения
состояний природы
, если она минимизирует байесовский риск
r(
,
) на
множестве D*.
Таким образом,
r(
,
)
=
*
inf
D
r(
,
). Приведем формулу Байеса. Прежде чем ее написать,
обратимся к теореме о полной вероятности [2, разд. 2.5, 2.6].
Теорема. Если событие А может наступить только при условии появления одного из событий В1,
В2, ...,B
n
, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события А равна сумме
произведений вероятностей каждого из событий В1, В2, ...,B
n
на соответствующую условную
вероятность события А:
где P(B
i
)
- вероятность события B
i
;
Р(А|В
i
) - условная вероятность события А в случае, если событие В
i
уже произошло.
Формула Байеса используется тогда, когда событие А появляется совместно с каким-либо из
полной группы несовместных событий В1, В2, ..., B
n
. Событие А произошло, и требуется произвести
количественную переоценку вероятностей событий В1, В2, ..., B
n
. При этом известны вероятности
Р(В1), Р(В2),...,
Р(B
n
) до опыта (априорные). Требуется определить вероятности после опыта
(апостериорные).
Апостериорные вероятности представляют собой условные вероятности Р(В1|А), Р(В2|А)
,...,
Р(В
n
|А). Вероятность совместного наступления событий А с любым из этих событий В
j
по теореме
умножения равна:
Эту формулу можно переписать исходя из формулы полной вероятности:
Задача 6.1. Собирается партия исправных изделий с трех предприятий. Первый завод поставляет
60 %, второй - 30 %, третий - 10 % изделий. В1, В2, В3 - события, соответствующие тому, что изделия
изготовлены на первом, втором и третьем предприятиях.
Вероятность исправной работы изделий первого предприятия равна 0,98, второго - 0,99, третьего -
0,96.
Определить вероятность того, что в собранную партию исправных изделий попали соответственно
изделия с первого, второго и третьего предприятий.
Введем обозначения:
А - событие, заключающееся в том, что изделие исправно;
Р(А) - полная вероятность того, что изделие исправно;
Р(В1|А), Р(В2|А),
Р(В3|А)
- условные вероятности того, что исправное изделие изготовлено
соответственно на первом, втором и третьем предприятиях;
Р(A|В1), Р(A|В2), Р(A|В3) - условные вероятности того, что изделие, изготовленное соответственно
на первом, втором и третьем предприятиях, исправно;
Р(В1), Р(В2), Р(В3) - вероятности того, что изделие изготовлено соответственно на первом, втором
и третьем предприятиях.