 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
35
показывает полезность, которую он приписывает каждому возможному исходу. У каждого ЛПР
своя функция полезности, которая показывает его предпочтение к тем или иным исходам в
зависимости от его отношения к риску.
Определение 4.3. Ожидаемая полезность события равна сумме произведений вероятностей
исходов на значения полезностей этих исходов.
Проиллюстрируем практическую реализацию введенных понятий на примере расчета ОДО и
сопоставления этого значения с полезностью.
Задача 4.1. Нефтеперерабатывающая фирма решает вопрос о бурении скважины. Известно, что
если фирма будет бурить, то с вероятностью 0,6 нефти найдено не будет; с вероятностью 0,1 запасы
месторождения составят 50 000 т; с вероятностью 0,15 -100 000 т; с вероятностью 0,1 - 500 000 т; с
вероятностью 0,05 -1 000 000 т. Если нефть не будет найдена, то фирма потеряет 50 000 дол.; если
мощность месторождения составит 50 000 т, то потери снизятся до 20 000 дол.; мощность
месторождения в 100 000 т принесет прибыль 30 000 дол.; 500 000 т- 430 000 дол.; 1 000 000 т - 930
000 дол. Дерево решений данной задачи представлено на рис. 4.1. Нетрудно рассчитать ожидаемое
значение выигрыша:
ОДО = 0,6(-50 000) + 0,1 (-20 000) + 0,15*30 000 + + 0,1*430 000 + 0,05*930 000 = 62 000 дол.
Рис. 4.1. Дерево решений для задачи 4.1 (прибыль указана в долларах)
Если ЛПР, представляющий фирму, безразличен к риску и принимает решение о проведении
буровых работ на основании рассчитанного ОДО, то он воспринимает ожидаемую полезность как
пропорциональную ОДО, полагая
U = 62. Учитывая, что
U - индивидуальное число,
характеризующее ЛПР, нули, отвечающие расчету ОДО, можно отбросить. В этом случае функция
полезности
U(v), где
v - прибыль, получаемая при различных исходах, является прямой с
положительным наклоном. Ниже будет показано, что U можно задавать с точностью до некоторого
монотонного преобразования.
Для принятия решения в случае небезразличия ЛПР к риску необходимо уметь оценивать
значения полезности каждого из допустимых исходов. Дж. Нейман и О. Моргенштерн предложили
процедуру построения индивидуальной функции полезности, которая (процедура) заключается в
следующем: ЛПР отвечает на ряд вопросов, обнаруживая при этом свои индивидуальные
предпочтения, учитывающие его отношение к риску. Значения полезностей могут быть найдены за
два шага.
Шаг 1. Присваиваются произвольные значения полезностей выигрышам для худшего и лучшего
исходов, причем первой величине (худший исход) ставится в соответствие меньшее число.
Например, для приведенной выше задачи U(-50 000 дол.) = 0, а U(930 000 дол.) = 50. Тогда
полезности промежуточных выигрышей будут находиться в интервале от 0 до 50. Полезность исхода
даже для одного индивида определяется не однозначно, а с точностью до монотонного
преобразования. Пусть, например, имеем x1, х2,..., х
n
- полезности, приписываемые п ожидаемым
значениям выигрышей. Тогда
?
+?x1, ?+?х2,..., ?+?х
n
(где (? > 0) также будут полезностями. Если в