 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
36
задаче 4.1 при расчете полезности отбросить последние нули, это будет эквивалентно линейному
преобразованию функции полезности при
?
= 0 и ? = 0,001.
Шaг 2. Игроку предлагается на выбор: получить некоторую гарантированную денежную сумму
,
находящуюся между лучшим и худшим значениями S и s, либо принять участие в игре, т.е. получить
с вероятностью р наибольшую денежную сумму S и с вероятностью (1 - р) - наименьшую сумму s.
При этом вероятность следует изменять (понижать или повышать) до тех пор, пока ЛПР станет
безразличным в отношении к выбору между получением гарантированной суммы и игрой. Пусть
указанное значение вероятности равно р
0
. Тогда полезность гарантированной суммы определяется
как среднее значение (математическое ожидание) полезностей наименьшей и наибольшей сумм, т.е.
U(
)
=
p
0
U(S) + (1 – p
0
)U(s).
(4.1)
Рассчитаем полезность результатов любого из возможных исходов для задачи 4.1. Пусть для ЛПР
безразлично: потерять 20 000 дол. или принять участие в игре (выигрыш 930 000 дол. с вероятностью
0,1 или проигрыш 50 000 дол. с вероятностью 0,9). Согласно формуле (4.1) имеем:
U(-20) = 0,1 U(930) + 0,9 U(-50) = 5,
при этом по определению принято, что U(-50) = 0, U(930) = 50, откуда следует, что U(-20) = 5.
Таким образом, если определена шкала измерения, то может быть построена функция полезности
ЛПР (рис. 4.2).
Рис. 4.2. График полезности для задачи 4.
Рис. 4.3. Типы функции полезности Неймана — Моргенштерна для ЛПР, не склонного к риску (а), безразличного к
риску (б), склонного к риску (в)
В общем случае график функции полезности может быть трех типов (рис. 4.3):
• для ЛПР, не склонного к риску, — строго вогнутая функция, у которой каждая дуга кривой лежит
выше своей хорды (рис. 4.3 а);
• для ЛПР, безразличного к риску, — прямая линия (рис. 4.3 б),
• для ЛПР, склонного к риску, — строго выпуклая функция, у которой каждая дуга кривой лежит
ниже своей хорды (рис. 4.3 в).
4.2. ИЗМЕРЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ К РИСКУ
Исследуем график функции полезности, представленной на рис. 4.4. Для такого типа ЛПР
полезность среднего выигрыша (полезность ОДО) больше ожидаемой полезности игры: с веро-
ятностью p выиграть М1 и с вероятностью (1 - р) выиграть М2.