 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
34
предпочтут не рисковать и выберут гарантированный выигрыш. Для ЛПР, обладающего
достаточно крупным капиталом, проигрыш в 50 000 дол. невелик, и он предпочтет рискнуть.
Рисковать будут также игроки, патологически склонные к финансовым авантюрам.
В данной главе будут изложены основы математической теории принятия субъективных решений
[13]. Методология рационального принятия решений в условиях неопределенности, основанная на
функции полезности индивида, опирается на пять аксиом, которые отражают минимальный набор
необходимых условий непротиворечивого и рационального поведения игрока. Для компактного
изложения аксиом нам потребуется следующее определение.
Определение 4.1. Предположим, что конструируется игра, в которой индивид с вероятностью а
получает денежную сумму х и с вероятностью (1 –
) - сумму z. Эту ситуацию будем обозначать G(x,
z:
).
Аксиома 1. Аксиома сравнимости (полноты). Для всего множества S неопределенных альтернатив
(возможных исходов) индивид может сказать, что либо исход х предпочтительнее исхода у (х
у),
либо
у
х, либо индивид безразличен в отношении к выбору между х и у (х
у). Запись х
у
означает, что исход х предпочтительнее исхода у либо индивид безразличен в отношении к выбору
между х и у.
Аксиома 2. Аксиома транзитивности (состоятельности). Если х
у и у
z, то х
z. Если х
у и у
z, то х
z.
Аксиома 3. Аксиома сильной независимости. Предположим, что мы конструируем игру, в которой
индивид с вероятностью а получает денежную сумму х и с вероятностью (1 - ?) — сумму z, т.е. G(x,
z: ?).
Сильная независимость означает, что если ин
дивид безразличен в отношении к выбору между х
и у (х
у), то он также будет безразличен в отношении к выбору между игрой (лотереей) G(x, z: ?)
и
игрой G(y, z: ?),
т.е. из
х
у следует G(x, z: ?)
G(y, z: ?).
Аксиома 4. Аксиома измеримости. Если х
у
z или х
у
z, то существует единственная
вероятность
?,
такая, что
у
G(x, z: ?).
Поясним смысл этой аксиомы. Пусть, например, имеем три исхода: х = 1000; у = 0; z означает
смерть игрока. Исходя из здравого смысла смерть нельзя сравнивать ни с каким выигрышем, и
соответствующего этому исходу значения вероятности
?
суще
ствовать не может. Однако в жизни
бывают ситуации, когда некий проигрыш равнозначен смерти. Тогда утверждение у
G(x, z:
?)
можно считать справедливым для некоторого значения
1.
0
Аксиома 5. Аксиома ранжирования. Если альтернативы у и и находятся по предпочтительности
между альтернативами х и z и можно построить игры, такие, что индивид безразличен в отношении к
выбору между у и G(x, z: ?2), a также к выбору между и и G(x, z: ?2), то при
2
1
у
и.
Поясним смысл этой аксиомы. Пусть существуют следующие альтернативы: х = 1000; у = 500; и =
200; z = –10. Пусть эквивалентны две пары ситуаций, одна из которых неигровая, а другая игровая:
1) гарантированно получить 500 или игра: с вероятностью
?
1
, выиграть 1000 и с вероятностью (1 –
?1) проиграть 10, т.е.
500
G(1000, -10: ?1);
2) гарантированно получить 200 или игра: с вероятностью
?
2
выиграть 1000 и с вероятностью (l -
?2) проиграть 10, т.е.
200
G(1000, -10: ?2).
Очевидно, что при указанных условиях
?
1
?2. Если
?
1
+
?2, то у
и.
Утверждение аксиомы вполне соответствует здравому смыслу: чем больше вероятность крупного
выигрыша, тем больше игра «стоит», т.е. тем большая плата потребуется за приобретение права
участвовать в этой игре.
Если принять приведенные аксиомы и предположить, что люди предпочитают большее
количество некоторого блага меньшему, то все это в совокупности определяет рациональное пове-
дение ЛПР.
При названных предположениях американскими учеными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном
было показано, что ЛПР при принятии решения будет стремиться к максимизации ожидаемой
полезности. Другими словами, из всех возможных решении он выберет то, которое обеспечивает
наибольшую ожидаемую полезность. Сформулируем определение полезности по Нейману-
Моргенштерну.
Определение 4.2. Полезность - это некоторое число, приписываемое лицом, принимающим
решение, каждому возможному исходу. Функция полезности Неймана - Моргенштерна для ЛПР