 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
101
В силу сделанных предположений все функции затрат f
k
(x
k
,
y
k+1
) являются вогнутыми (как суммы
вогнутой и линейной функций). Данное свойство значительно упрощает процесс решения, так как для
поиска минимума вогнутых функций f
k
(x
k
,
y
k+1
) достаточно рассмотреть только две крайние точки
множества, на котором отыскивается минимум. С учетом введенного обозначения задачу (5.24)-(5.25)
можно записать в виде:
при условиях
Рассмотрим процедуру решения (5.32)-(5.33). Так как ищется минимум суммы вогнутых функций
f
k
(x
k
,
y
k+1
), то решение будет достигаться на одной из крайних точек множества, определяемого
условиями (5.33). Общее число переменных x
k
и y
k
в системе (5.33) равно 2п. Однако, учитывая то, что
в ней только п уравнений, в оптимальном плане будет не более п ненулевых компонент, причем для
каждого периода k значения x
k
и
y
k
не могут равняться нулю одновременно (в силу необходимости
удовлетворения спроса либо за счет заказа, либо за счет запаса). Формально это утверждение можно
представить в виде условия дополняющей нежесткости:
где
С точки зрения содержательной интерпретации условия (5.34)-(5.35) означают, что при оптимальном
управлении заказ поставщику на новую партию не должен поступать, если в начале периода имеется
ненулевой запас, или размер заказа должен равняться величине спроса за целое число периодов.
Отсюда следует, что запас на конец последнего периода должен равняться нулю: у*
n+1
=0. Последнее
позволяет решать задачу в прямом направлении, применяя рекуррентное соотношение
где
?
= у
k+1
=
х
k
+ у
k
- d
k
.
Учитывая (5.34)-(5.35) и вогнутость f
k
(x
k
, ?), заключаем, что минимум (5.36) достигается в одной из
крайних точек x
k
=0 или x
k
= ? + d
k
поэтому
тогда для предыдущего периода функция состояния может быть выражена как
на oснове чего в общем виде получаем модифицированную форму для рекуррентного соотношения