 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
83
частных случаев (или разбором случаев). Например, доказательство теоремы "Площадь треугольника
равна половине произведения его основания на высоту" проводится путем рассмотрения случаев, когда
треугольник является остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.
Несмотря на простой характер умозаключения полной индукции, иногда и здесь допускаются
ошибки, которые связаны главным образом с пропуском какого-либо частного случая, вследствие чего
заключение не исчерпывает все случаи и тем самым является необоснованным. Чаще всего это
происходит тогда, когда не проводится четкого разграничения между частными случаями или
допускается как сознательная уловка в споре, когда одному из его участников оказывается невыгодным
рассмотреть все случаи, которые могут опровергнуть его утверждение.
Математическая индукция
Обычно такую индукцию считают типично дедуктивным способом умозаключения не только
потому, что она приводит к достоверно истинным заключениям, а из-за ее использования в качестве
специфического математического доказательства. Между тем исторически и по характеру рассуждения
математическая индукция отличается от обычной дедукции тем, что она начинается с некоторого
предположения, которое опирается на наблюдение некоторых частных случаев. Затем, допуская это
предположение верным для некоторого случая, скажем, для числа п, доказывают, что оно верно также
для последующего числа n + 1. Поскольку непосредственно было найдено, что предположение
справедливо относительно натуральных чисел 1, 2, 3, то на основе доказанного предположения, т.е.
перехода от п к n + 1, его переносят на все числа натурального ряда. Отсюда нетрудно понять, что
математическая индукция опирается на особую структуру образования натурального ряда чисел, где
каждое последующее число образуется путем прибавления единицы к предыдущему. Основываясь на
этом свойстве натуральных чисел, Б. Паскаль и Я. Бернулли разработали метод доказательства с
помощью математической индукции. Чтобы яснее представить суть данного метода, рассмотрим
пример из элементарной математики, относящийся к установлению формулы п-го члена
арифметической прогрессии. Если нам дана, скажем, прогрессия 1, 3, 5, 7, то каждый последующий
член в ней образуется из предыдущего путем прибавления числа 2 – знаменателя прогрессии. Отсюда
мы можем сделать допущение, что и во всякой другой арифметической прогрессии любой n-й член
получается аналогичным образом. Следовательно, на индуктивной фазе рассуждения предполагается,
что для прогрессии а¹, а², а³, ..., аn, an+¹ ... ее п-й член ат определяется формулой
an = а¹ + (n - 1) d.
Фаза доказательства должна продемонстрировать, что если формула верна для некоторого члена
an, то она будет верна и для an+1. Для этого достаточно прибавить к предыдущему члену а знаменатель
прогрессии а, тогда получим:
an+1 = a1+d
(n
- 1) + d = an+nd
. Если формула, как мы непосредственно
убедились, верна для а¹ = 1, то по доказанному она верна для а² = 3, а³
=
5 и т.д. Таким образом, наше
предположение верно для всех целых чисел, из которых состоит данная прогрессия.
Тот факт, что математическая индукция начинается с некоторого предположения (или гипотезы),
сближает ее с индуктивными рассуждениями, но, так как предположение подкрепляется
доказательством, основанным на переходе от an к an+1, это придает ей доказательный характер.
Следовательно, в математической индукции органически сочетаются индукция с дедукцией,
предположение – с доказательством. Поэтому она находит такое широкое применение в
математике. В ней догадка, открытие всегда сопровождается обоснованием и доказательством,
а это требует, с одной стороны, приобретения опыта в умении догадываться, открывать новые
соотношения, а с другой – овладения техникой математического доказательства.
Обобщающая индукция
Кроме полной и математической индукции, которые приводят к достоверным заключениям, все
остальные формы индукции лишь наводят на истину, и потому их результаты имеют лишь
проблематический (вероятностный) характер. Это иногда служит основанием для недооценки их роли в
научном познании. Между тем стоит лишь задуматься над вопросом, откуда берутся общие посылки
для дедуктивных умозаключений, как сразу же вспоминают о движении познания от частного к
общему, а это и есть индукция в общепринятом смысле слова.