 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
42
Каждая строка первой импликации и второй конверсной (обратной), полученной перестановкой
отрицаний консеквента и антецедента первой, совпадают друг с другом. Следовательно указанные
импликации будут эквивалентны.
С помощью таблиц истинности можно проверить, что и остальные логические операции можно
определить через Другие две, причем второй операцией всегда будет отрицание. Например,
дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию: (х
у)
-
(¬x
¬y).
Способ установления истинности сложных высказываний, образованных из простых с помощью
таблицы, был предложен американским логиком Ч.С. Пирсом и оказался весьма удобным. Как мы
видели, этот способ основывается на комбинации значений истинности простых высказываний и
последующего определения истинности сложных высказываний, образованных с помощью операций
отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации. Например, когда имеется два высказывания, то
число различных комбинаций из их значений истинности будет равно 4, при трех – 8, при четырех – 16,
а следовательно, при заданном числе п оно равно 2
?.
Отсюда нетрудно заметить, что определение
истинности сложного высказывания сводится в сущности к вычислению ее на основе значений
истинности простых высказываний. Это впечатление усилится, если мы обозначим истину как 1, а ложь
как 0 и будем их комбинировать, чтобы образовать отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и т.д. В
качестве иллюстрации вычислим значение истинности следующего выражения: (х
y) >(x
z).
При некотором навыке процесс вычисления можно ускорить, обратив главное внимание на
основную операцию, которая связывает две части формулы. В приведенном примере (табл. 7)
достаточно заметить, что ложная импликация возникает при истинном антецеденте и ложном
консеквенте. Отсюда легко определить возможные значения х и у в дизъюнкции (х
у), а также
значения х и z в конъюнкции (х
z). Такой сокращенный способ вычисления истинности сложного
высказывания основывается на установлении главной логической операции в рассматриваемой
формуле.
Законы логики высказываний
Такие законы представляют собой тождественно истинные высказывания, т.е. высказывания,
остающиеся истинными при любых значениях входящих в них простых высказываний. В
справедливости этого утверждения можно убедиться опять-таки с помощью таблиц истинности. В
принципе все тождественно истинные высказывания являются законами логики (или исчисления
высказываний). Мы перечислим только основные из них.
• Закон тождества: если х, то х, т.е. х
>
х.
• Закон упрощения: если х и у, то х, т.е. х
у
>
х.
То же самое относится к другому конъюнктивному
члену:
x
y
>
y
• Закон эквивалентности: если из х следует у, а из у следует х, тогда высказывания эквивалентны, т.е.
x
-
y.
• Закон гипотетического силлогизма: если из х следует у, а из у следует z, то из х следует z, т.е.
((x
>
y)
(y
>
z))
> (
x
>
z)
• Закон двойного отрицания: если из х следует не-х, то отрицание последнего приводит к
первоначальному высказыванию: