 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
43
¬ (¬x)
-
x
• Законы О. де Моргана дают возможность переходить от конъюнкции к дизъюнкции и, наоборот, от
дизъюнкции к конъюнкции. Они служат удобным средством для преобразования высказываний:
а) отрицание конъюнкции высказываний эквивалентно дизъюнкции из отрицаний конъюнктивных
членов:
¬ (x
y) - (¬x
¬y)
б) отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаемых членов дизъюнкции:
¬ (x
y) - (¬x
¬y)
• Закон "поглощения": конъюнкция или дизъюнкция одинаковых высказываний эквивалентна самому
высказыванию, т.е. повторяющийся член "поглощается":
(x
x) > x и (x
x) > x.
• Коммутативные законы для конъюнкции и дизъюнкции разрешают перестановку их членов:
(x
y) - (x
y) и (x
y) - (y
x).
• Ассоциативные законы для конъюнкции и дизъюнкции позволяют по-разному сочетать члены, т.е.
по-иному расставлять скобки:
x
(y
z)
- (
x
y)
z или x
(y
z)
- (
x
y)
z.
• Закон контрапозиции разрешает прямую импликацию заменять обратной, в результате чего
антецедент первой заменяется отрицанием консеквента второй, а ее консеквент – отрицанием
антецедента. Проще говоря, при контрапозиции происходит перестановка членов импликации или их
контрапозиция, но они берутся с отрицаниями:
(x
>
y)
- (¬
y
> ¬
x)
• Закон противоречия: два противоречащих друг другу высказывания, т.е. высказывание х и его
отрицание не-х, не могут быть вместе истинными:
(x
¬x)
Поскольку этот закон запрещает противоречия в рассуждении, то его часто называют также законом
непротиворечия, и последнее более правильно.
• Закон наслюненного третьего:
из двух противоречащих друг другу высказываний только одно
является истинным. Тогда второе будет ложным и никакой третьей возможности не существует
x
¬x
Все эти законы можно непосредственно проверить с помощью таблиц истинности, но их желательно
запомнить, чтобы каждый раз не обращаться к построению таблиц. Можно было бы привести и другие
законы, которые иногда применяются в рассуждениях, но они играют значительно меньшую роль. В
принципе таких законов может быть бесчисленное множество. Все они должны содержать только
переменные и логические постоянные и быть истинными в любой области (универсуме) рассуждения.
При этом предполагается, что данная область непустая. В логике высказываний к постоянным относят
логические коннекторы (связки), с помощью которых образуются сложные высказывания, а
переменными являются простые высказывания.
Все перечисленные выше законы служат основой для правильных рассуждений, ибо опираясь на
них, никогда нельзя получить ложного заключения из истинных посылок. Поэтому любое
последовательное, непротиворечивое и правильное мышление всегда осуществляется в соответствии с
законами логики, сознаем мы это или нет. В то же время среди перечисленных законов необходимо
выделить самые основные, которые обычно называются законами логики. К ним относятся законы
тождества, противоречия и исключенного третьего, о которых пойдет речь в гл.6.
Все законы исчисления высказываний, как в этом можно убедиться с помощью таблиц истинности,
являются тождественно истинными (общезначимыми формулами). Какие бы истинностные значения не
придавались входящим в них высказываниям, в конечном счете формула оказывается всегда истинной.
Вот почему эти законы явно или неявно применяются в любом рассуждении, ибо именно с их помощью
становится возможным преобразовать и упрощать имеющуюся информацию и приходить к
определенным заключениям. Поясним это на примере закона контрапозиции. Если нам известно, что
"треугольник х равнобедренный", то отсюда следует высказывание у, утверждающее, что "углы при его
основании равны". Но если эти углы не равны, то по закону контрапозиции можно заключить, что
"треугольник не является равнобедренным", т.е. (х
>
у)
>
(¬y
> ¬
x). Таким образом, этот вывод мы
получаем чисто логически, не прибегая, например, к доказательству методом от противного.