 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
99
2. Рассмотреть систему Вольтерра в случае
2
2
1
1
k
k
. Найти отношения
0
0
y
y
и
x
x
.
3. Построить и исследовать модель эпидемии в городе с 300-тысячным населением.
4. Исходная популяция имеет следующую возрастную структуру a
0
= (0,6,12) и матрица Лесли А –
следующий вид:
Найти (приближенно) численность популяции через достаточно большое число п лет и ее
устойчивую возрастную структуру.
Глава 10. Стохастические модели
10.1. Случайные процессы при описании популяций
Рассматриваемые выше модели – детерминистские. Это должно иметь какие-то основания, которые
мы и попытаемся сейчас обсудить.
Если речь идет о динамике популяций, то можно выделить по крайней мере два аспекта, по которым
детерминистская модель не может служить точным отражением реальной экологической системы: во-
первых, она допускает бесконечно большую численность популяции; во-вторых, не учитывает
случайных колебаний, происходящих в среде во времени.
В качестве примера детерминистской экологической модели рассмотрим уравнение
aN
dt
dN
,
(10.1)
где N – число особей в момент времени t,
а – истинная скорость роста.
Решением этого уравнения, удовлетворяющим начальному условию
N(0)=No, (10.2)
является функция
N(t)=N
0
e
at
,
(10.3)
(так называемый закон Мальтуса – закон роста популяции без конкуренции). В основе главного
допущения здесь лежит то, что за короткий промежуток времени t каждая особь порождает a?t новых
особей.
В соответствующей стохастической модели принимается более правдоподобное допущение,
согласно которому за период
?
t
одна особь с вероятностью
?
производит одного
потомка и с
вероятностью
??
t умирает. Обозначим через р
i
(t) вероятность того, что в момент времени t численность
популяции равна i, i = 0, 1, 2, ... Рассмотрим величину p
i
(t + ?t). В силу малости
?
t можно считать, что
численность популяции останется прежней, равной i, в результате трех независимых событий –
появления потомков в популяции с численностью i–1, отсутствия случаев рождения и смерти в
популяции с численностью i и смерти в популяции с численностью i+1. При этом вероятность p
i
(t + ?t)
равна сумме вероятностей этих событий:
p
i
(t + ?t) = (i-1) ? p
i-1
(t) ?t+(1-i(?+?)p
i
(t) ?t+(i+1) ?
i+1
(t) ?t , откуда
t
t)
p
t)
t
p
i
i
(
(
(i-1) ? p
i-1
(t)- i(?+?)p
i
(t)+ (i+1) ?
i+1
(t).
Переходя в полученном соотношении к пределу при t
> ?,
получим систему уравнений
Колмогорова
).
(t
)
1
(i
)
(t
)
(
)
(t
)
1
(i
)
(t
1
1
'
p
p
i
p
p
i
i
i
i
(10.4)
В виде (10.4) уравнения справедливы при i= 2, 3, 4, .... При i = 1 из (10.4) получаем уравнение
). (10.5)
(t
2
)
1
(i
)
(t
)
(
)
(t
2
'
p
p
p
i
i
а при i = 0 – уравнение