 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
91
прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации разных способов и форм
воздействия на объект.
Хорошо построенная модель, как правило, дает новые знания об объекте-оригинале. Это, безусловно,
очень важное свойство, стимулирующее развитие методов моделирования.
Более подробно о моделях и моделировании можно узнать из литературы, например [10]. Далее
приведем несколько простейших моделей из экологии и безопасности жизнедеятельности.
9.2. Динамика популяций
В современной экологии часто возникает вопрос: как определить численность той или иной
популяции через определенное время? Ответ на него не только представляет теоретический, интерес, но
и имеет большое практическое значение. Действительно, не зная этого, нельзя правильно планировать
эксплуатацию различных возобновляемых природных ресурсов – промысловых рыб, охотничьих
угодий и т.п. Может ли в решении этого вопроса помочь математика? Оказывается, да. Рассмотрим
здесь некоторые простейшие модели, на которых проиллюстрируем подход к данному вопросу.
Пусть некоторая популяция имеет в момент времени t
0
биомассу x
0
.
Предположим, что в каждый
момент времени скорость увеличения биомассы пропорциональна уже имеющейся биомассе, а
возникающие явления конкуренции за источниками питания и самоотравления снижают биомассу
пропорционально квадрату наличной биомассы. Если обозначить биомассу в момент времени t через
х(t), а изменение ее за время
t через
х, то можно записать следующее приближенное равенство:
х
?(
kх-?
х
2
)
t, (9.1)
где ? и k – положительные постоянные (параметры).
В дифференциальной форме это соотношение имеет вид:
2
x
kx
dt
dx
. (9.2)
Оно и представляет собой математическую модель процесса изменения биомассы популяций. В
экологической литературе уравнение (9.2) часто называют логистическим.
Если теперь поставить вопрос о том, какова же будет биомасса в момент времени Т, то на него
можно ответить экспериментально – дождаться этого момента и определить биомассу
непосредственным измерением (вообще говоря, такое измерение может быть физически
неосуществимым).
Другой путь – воспользоваться математической моделью, решая задачу Коши для уравнения (9.2) с
начальным условием (9.3):
x(t
0
)=x
0
.
(9.3)
Разделяя в уравнении (9.2) переменные, получим уравнение в дифференциалах
dt
x)
k
x(
dx
. (9.4)
Для дальнейшего удобно ввести новую переменную
z=?
х,
(9.5)
тогда (9.4) можно переписать в виде
kdt
z
k
dz
z
dz
(9.6)