 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
102
Применив снова замену переменной
t
m
x
2
получим
.
2
]
[
2
2
2
dt
e
t
X
D
t
(10.21)
Интегрируем это выражение по частям:
.
)
(e
]
[
2
2
2
2
2
dt
e
td
X
D
t
t
(10.22)
Следовательно,
?
в выражении (
10.18) равна корню из дисперсии, т. e. среднему квадратичному
отклонению. Итак,
Е[у
i
]=т, D[y
i
]=var(y
i
)=?². (10.23)
Покажем, что если т=
2
2
, то Е
1. Действительно,
i
y
e
.
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
)
2
(y
2
)
2
(
dy
e
dy
e
e
Ee
y
y
y
i
Применив снова замену х =
2
2
2
y
, получим
.
1
1
2
dx
e
Ey
x
i
(10.24)
Вернемся к формуле (10.17), которая в наших предположениях имеет вид
t
y
y2
y1
at
e
N
t)
N
...
0
(
,
(10.25)
откуда для среднего значения N(t) получаем выражение
t
i
at
y1
at
y
y2
y1
at
e
N
e
E[
e
N
e
E(
e
N
t)
N
t
1
0
0
...
0
]
)
(
,
(10.26)
а для дисперсии D[N] = var(N) –
].
1
)
(e
[
)
1
)
(e
2E
)
(e
(
)2
1
(e
)
var(
1
1
1
1
2
2at
2
0
2
2at
2
0
2at
2
0
t
i
i
t
i
i
t
i
i
t
i
i
y
y
y
y
E
e
N
E
e
N
E
e
N
N
(10.27)
Теперь имеем
.
2
1
2
1
2
1
)
(e
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
)
2
3
(
2
2
)
2
3
(
2
)
2
(
2y
2y
e
dy
e
e
dy
e
dy
e
E
y
y
y
i
(10.28)
Следовательно,
)
1
(e
)
var(
2
2
0
t
at
e
N
N
(10.29)
и коэффициент вариации при t
> ?
равен
t
t
e
e
t)
N
N
1
(
)
var(
2
.
(10.30)
Из формул (10.26) и (10.30) следует, что хотя, как и в детерминистском случае, среднее значение N(t)
экспоненциально возрастает, экспоненциально возрастают и отклонения от среднего значения. Таким
образом, с течением времени колебания численности популяции становятся все более резкими. В этом
отражается то обстоятельство, что детерминистская система не имеет стационарного состояния, более
того, при определенных соотношениях между а и
?
вероятность ее вымирания приближается к единице.
Найдем вероятность вымирания популяции за время t – функцию p
0
(t):
.
1
1
}
1
)
(t
{N
)
(t
0
0
0
1
1
at
y
y
at
e
N
e
p
e
N
p
p
p
t
i
i
t
i
i