 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
80
т.е. имеет место неравенство
UAM*
v.
(П5)
Также умножим обе части неравенства (П4) справа на произвольный n-мерный вектор W > 0 , для
которого справедливо
где С - единичный вектор.
Получим:
U*AM
v(C,W) = v,
т.е. справедливо неравенство
U*AM
v.
(П6)
Сравнивая неравенства (П5) и (П6), приходим к соотношению
UAW*
v
U*AW,
т.е. U* и W* - оптимальные стратегии, а v - цена игры с платежной матрицей А, что и требовалось
доказать.
Следствие (С1). В процессе доказательства основной теоремы теории игр с платежной матрицей A
=
n
m,
ij
a
(a
ij
> 0) игре приведена в соответствие следующая пара задач линейного программирования:
Составляющие оптимальных стратегий
*
i
u
и
*
j
w
игры связаны с компонентами
*
i
y
и
*
j
x
оптимальных планов двойственных задач линейного программирования (П7) формулами:
Цена игры
Следствие (С2). Вместо приведенной выше пары двойственных задач линейного
программирования (П7) иногда удобнее рассматривать другую пару задач, имеющих более ясный
содержательный экономический смысл:
1. Прямая задача. Игрок 1 стремится увеличить цену игры:
v
mах
(П8)
при условиях:
т. е. игрок 1 действует так, чтобы его средний выигрыш при использовании его стратегий с
частотами u
i
для любой j-й стратегии игрока 2 был не меньше величины v, которую он стремится
увеличить;
т. е. сумма частот применения стратегий игрока 1 равна единице.
2. Двойственная задача. Игрок 2 стремится уменьшить свой проигрыш:
v
min
(П9)
при условиях:
т. е. игрок 2 действует так, чтобы его средний проигрыш при использовании его стратегий с
частотами
w
j
для любой i-й стратегии игрока 1 не превышал величины v, которую он стремится
уменьшить;