 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
78
Рис. 8.3. Определение квантиля распределения
Рассчитаем квантиль распределения:
По квантилю, равному 0,2 (см. рис. 8.3), определяем
a
0
= 12,3 тыс. руб. Это стоимостное
выражение искомого оптимального запаса продукции торговой фирмы, равное 12,3 тыс. руб.
ПРИЛОЖЕНИЕ
СВЯЗЬ МАТРИЧНЫХ ИГР С ЛИНЕЙНЫМ ПРОГРАММИРОВАНИЕМ (ОСНОВНАЯ
ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ИГР). ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Первоначально развитие теории стратегических матричных игр осуществлялось параллельно и
независимо от линейного программирования. Позже было установлено, что стратегическая
матричная игра может быть сведена к паре двойственных задач линейного программирования. Решив
одну из них, получаем оптимальные стратегии игрока 1; решив другую, получаем оптимальные
стратегии игрока 2. Математическое соответствие между стратегическими матричными играми и
линейным программированием было установлено Дж. Б. Данцигом, сформулировавшим и
доказавшим в 1951 г. основную теорему теории игр [23].
Теорема. Каждая матричная игра с нулевой суммой всегда имеет решение в смешанных
стратегиях, т.е. существуют такое число v и такие стратегии U* и W* игроков 1 и 2 соответственно,
что выполняются неравенства:
Поясним смысл доказываемых неравенств: если игрок 1 отклоняется от своей оптимальной
стратегии, то его выигрыш не увеличивается по сравнению с ценой игры; если от своей оптимальной
стратегии отклоняется игрок 2, то по сравнению с ценой игры его проигрыш не уменьшается.
Доказательство. Пусть матрица игры равна A =
n
m,
ij
a
. Всегда можно считать, что все
коэффициенты а
ij
> 0. Если это не так, то предположим, что наименьший из всех отрицательных
коэффициентов есть а
0
< 0. Тогда увеличим все элементы платежной матрицы на произвольное
положительное число а > – а
0
. Функция выигрыша при этом окажется равной
Из этого следует, что от увеличения всех элементов матрицы A =
n
m,
ij
a
на величину a цена игры
увеличивается на эту величину, причем оптимальные смешанные стратегии не изменяются.
Для определения среднего оптимального выигрыша игрока 1, соответствующего первоначальной
платежной матрице, необходимо из найденной цены игры вычесть величину а.
Рассмотрим теперь пару двойственных задач линейного программирования с матрицей условий A
=
n
m,
ij
a
(a
ij
> 0), совпадающей с платежной матрицей игры. Введем вектор ограничений прямой
задачи В = (1, 1, ... , 1)
T
, состоящий из т единиц (это вектор-столбец, для удобства записи
представленный в виде транспонированной строки. Т
- символ транспонирования матрицы), и
вектор-строку коэффициентов линейной формы или функционала С = (1, 1,..., 1), состоящий из п
элементов. Тогда в векторно-матричной форме соответствующая задача линейного
программирования может быть записана следующим образом: