 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
56
Если в качестве оптимальной принимается байесовская функция решения, то используется
формула r(
,
).
Вводя рандомизацию на стороне природы, приходим к дальнейшему расширению статистической
игры.
Игра (
,
D*, r) со смешанным расширением статистической игры с рандомизацией на стороне
статистика и на стороне природы называется полностью расширенной статистической игрой.
Поясним в полностью расширенной статистической игре (
,
D*, r) ее составляющие:
- множество всех априорных распределений
состояний природы или множество ее смешанных
стратегий;
D* - множество всех случайных функций решения;
r = r(
,
) - байесовский риск.
Представим схему расширения статистической игры (рис. 6.1). При наличии данных без учета
стохастических распределений имеем исходную стратегическую игру двух лиц с нулевой суммой,
которая относится к антагонистическим играм. Данная игра является исходной для соответствующей
статистической задачи принятия решения.
Рис. 6.1. Расширение статистической игры
Если статистик (экспериментатор) не имеет возможности провести эксперимент со случайной
величиной X, чтобы получить ее распределение, которое зависит от состояния природы, он
вынужден будет использовать только стратегическую игру (
,
A, L).
Однако очень часто статистик может провести эксперимент и получить в результате вектор
x
,
которым он в состоянии воспользоваться при принятии решения а
А функции d(
x
). В этом случае
платеж
L(
, а) становится случайной величиной, а игра - статистической G(
,
D, R). Стратегией
статистика будет d
D, а платежом природе от статистика станет его риск R(
, d).
Далее у статистика остаются две альтернативы:
1) воспользоваться рандомизацией состояний природы и перейти к расширенной (
,
D, r)
статистической игре;
2) воспользоваться рандомизацией функций решения и перейти к расширенной статистической
игре (
,
D*, R).
Наконец, если статистик применит смешанные стратегии для обоих игроков, то получит
полностью расширенную статистическую игру ((
,
D*, r).
На практике статистик для выбора оптимальной стратегии может не производить рандомизацию, а
в качестве оптимальной взять байесовскую функцию решения.
А. Вальд, создавая теорию статистических игр, опирался на созданную Д. Нейманом теорию
стратегических игр, поэтому сравним далее понятия стратегических игр двух лиц с нулевой суммой и
понятия статистических игр статистика с природой. Для этого укажем основные обозначения в
стратегической и статистической играх:
Х - совокупности стратегий игрока 1;
Y
- совокупности стратегий игрока 2;
W— платежная функция;