 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
54
величины Х решение принимается с помощью розыгрыша по вероятностному закону, называется
рандомизацией»*.
* Математическая энциклопедия. Т.4. - М.: Советская энциклопедия, 1984. - С. 865.
Введем условные обозначения:
В или
- множество состояний природы;
В. или
j
- отдельное состояние природы,
j
;
А — множество действий (решений) статистика;
а - отдельное решение статистика, a
А;
L
- функция потерь. Множества
и А предполагаются численно определенными, поэтому
представляется возможным установить распределение вероятностей. Если принятое статистиком
решение a
А и состояние природы
, то функция потерь запишется L(
; a);
D
- совокупность всех нерандомизированных (чистых) функций решения;
d(
x
)
- функция решения;
x
- случайный вектор. Характеристикой функции решения является
функция потерь. Статистик может перед принятием одного из возможных решений провести
эксперимент, который заключается в наблюдении случайной переменной х. В итоге представляется
возможным получить распределение этой случайной переменной в зависимости от состояния
природы
;
F(x|
)
- функция условного распределения случайной переменной х. Предполагается, что для
каждого состояния природы
известно значение функции F(x|
);
п - объем выборки;
x
— множество всех выборок объема п. После получения результата эксперимента х статистик
использует некоторую функцию решения и принимает одно из решений а
А, когда результат
эксперимента - вектор
X
x
:
R
— функция риска;
R(
,d)
- функция риска, определенная на прямом произведении
D
множества состояний
природы и множества решений.
Игра (
,
A, L) - исходная стратегическая игра, соответствующая стратегической задаче принятия
решения;
G = (
,
D, R) - статистическая игра;
- рандомизированная функция решения;
D* - множество случайных функций решения,
D*. Подразумевается, что D
D*, так как
чистая функция решения (нерандомизированная) может быть рассмотрена как смешанная, которая
используется с вероятностью, равной 1;
G(
)
- функция априорного распределения состояний природы
;
- совокупность всех априорных распределений
.
6.2. СВОЙСТВА СТАТИСТИЧЕСКИХ ИГР
Функция решения, отображающая множество выборок
X
в множество решений статистика
A,
называется нерандомизированной (чистой) функцией решения статистика. Так, по результатам
эксперимента
x
статистик определяет, какое решение а
А он должен выбрать. Для выбора из
множества D наилучшей функции решения он использует функцию риска.
Функция риска зависит от множества состояний природы и от множества функций решения и
принимает значение, выраженное действительными числами. Она определяет математическое
ожидание функции потерь при некотором состоянии природы
и известной статистику функции
распределения F(
x
|
), когда а=d(
x
).
Представим функцию риска: