 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
40
Пусть точка касания кривой безразличия (линия одинаковой полезности) на рис. 4.5
соответствует Y
n
= 86 000 дол., Y
t
= 56 000 дол.
Тогда согласно формуле (4.5) имеем: 86 000 = 100 000 - 0,2К, откуда оптимальная величина
страхования К = 70 000 дол.
Задача 4.3. Спрос на страхование. Пусть финансовое состояние индивида оценивается заданным
значением
W. Предполагается, что можно вычислить вероятность р потери некоторой части этого
состояния, определяемой суммой
L
W (например, в результате пожара). Индивид может купить
страховой полис, в соответствии с которым ему возместят нанесенный ущерб в размере q. Плата за
страхование составляет
q, где
- доля страхования в объеме нанесенного ущерба. Проблема
состоит в определении значения q.
Исследуем задачу максимизации ожидаемой полезности финансового состояния индивида в
ситуации, когда с вероятностью р страховой случай происходит и с вероятностью (1 –р) - не
происходит. Тогда задача сводится к поиску максимума по q ожидаемой полезности капитала
индивида:
)]
(W
)U
1
(
)
(W
[
max
q
p
q
q
L
pU
q
Применим необходимое условие оптимальности - продифференцируем выражение в квадратных
скобках по q и приравняем производную нулю:
0
)
*)(
(W
)U
1
(
)
1
*)(
*
(W
q
p
q
q
L
U
p
где q* - оптимальное значение q. В результате получаем:
Предполагая известным вид функции U, из соотношения (4.6) находим значение q*.
Рассчитаем ожидаемую прибыль страховой компании, учитывая, что страховой случай имеет
вероятностный характер.
Если страховой случай произошел, компания получает доход
q
– q. Если страховой случай не
наступил, компания получает доход
q. Поэтому ожидаемая прибыль компании
р(
q
- q)+ (1 - р)
q = p
q
- pq +
q
- p
q = q(
- р),
где р - вероятность наступления страхового случая.
Конкуренция между страховыми компаниями уменьшает прибыль, которая в условиях
совершенной конкуренции стремится к нулю, т.е. из условия q(
- р) = 0 следует, что
р.
Это означает, что доля платежа от страхуемой суммы
приближается к вероятности несчастного
случая р. Если соотношение
= р ввести в условие максимума ожидаемой полезности, то получим:
*)
(W
*)
)q
1
(
(W
q
U
L
U
.
Если потребитель не склонен к риску, то
0
)
(W
U
, и из равенства первых производных следует
равенство аргументов, т.е.
W – L + (1 -
)q* =W –
q*,
или
– L + q* –
q* = –
q*,
откуда
q* = L.
Вывод. Страховаться целесообразно на сумму, которую можно потерять в результате несчастного
случая.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 4.4. Допустим, что функция полезности ЛПР логарифмическая
U(W) = ln(W) и весь его
капитал составляет 5 тыс. руб.
Возникают две ситуации:
1. С вероятностью 0,5 ЛПР может выиграть и проиграть 1 тыс. руб. Есть ли смысл покупать
страховой полис, устраняющий риск, за 125 руб.?
2. ЛПР рискнул, отказался от страхового полиса и проиграл 1 тыс. руб. Та же ситуация возникла
во второй раз. Следует ли ему застраховаться от риска на прежних условиях (125 руб. за страховой
полис). Что целесообразнее: приобрести полис или принять участие в игре?