 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
12
Выберем оптимальную стратегию для игрока 1. Ею будет не максиминная А2, дающая игроку 1
выигрыш
= 4, а та стратегия, которая соответствует
ij
i
a
max
. В этом случае его максимальный
гарантированный выигрыш будет равен верхней цене игры
5
, поэтому он выберет свою
оптимальную стратегию А1, зная, что игрок 2 выбрал свою стратегию В2. Таким образом, рас-
смотренный пример дает результат, отличный от результата при игре с седловой точкой.
Стратегия является оптимальной, если ее применение обеспечит игроку наибольший
гарантированный выигрыш при любых возможных стратегиях другого игрока.
На примере 2.3 показано, что бывают ситуации, когда игрок 1 может получить выигрыш,
превосходящий максиминный, если ему известны намерения игрока 2.
При многократном повторении игры в сходных условиях можно добиться гарантированного
среднего выигрыша, превосходящего для игрока 1 максиминный.
2.2. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ
Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и
нижнюю цены игры. Они показывают, что игрок 1 не получит выигрыша, превосходящего верхнюю
цену игры, и что игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры. В примере 2.3
игрок 1 получил по своей оптимальной стратегии А1, отличной от максиминной, выигрыш, равный
верхней цене игры. Такова плата за информированность о стратегии игрока 2. Это крайний случай.
Не улучшится ли результат игрока 1, если информация о действиях противной стороны будет
отсутствовать, но игрок будет многократно применять чистые стратегии случайным образом с опре-
деленной вероятностью?
В такой ситуации, оказывается, можно получать выигрыши, в среднем большие нижней цены
игры, но меньшие верхней.
Смешанная стратегия игрока - это полный набор применения его чистых стратегий при
многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Подведем
итоги сказанного и перечислим условия применения смешанных стратегий:
• игра без седловой точки;
• игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;
• игра многократно повторяется в сходных условиях;
• при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;
• допускается осреднение результатов игр.
Применяются следующие обозначения смешанных стратегий.
Для игрока 1 смешанная стратегия, заключающаяся в применении чистых стратегий А1, А2,..., А
m
с
соответствующими вероятностями р1, р2, ..., р
m
,
m
m
p
p2
p
A
A
A
S1
...
...
1
2
1
где
1,
1
m
i
i
p
0
i
p
Для игрока 2
m
m
q
q2
q
B
B2
B1
S1
...
...
1
где
1,
1
m
j
j
q
0
j
q
q
j
– вероятность применения чистой стратегии В
j
.
В случае, когда p
i
= 1 , для игрока 1 имеем чистую стратегию:
0
,...,
1
,...,
0
0
,...,
,...,
2
1
1
m
i
A
A
A
A
S
Чистые стратегии игрока являются единственно возможными несовместными событиями. В
матричной игре, зная матрицу А (она относится и к игроку 1, и к игроку 2), можно определить при
заданных векторах
p
и
q
средний выигрыш (математическое ожидание эффекта) игрока 1: