 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
10
см. разд. 3.2). Игры с природой (см. гл. 3, 6) часто относят к статистическим играм. В
статистической игре имеется возможность получения информации на основе статистического
эксперимента, при котором вычисляется или оценивается распределение вероятностей состояний
(стратегий) природы. С теорией статистических игр тесно связана теория принятия экономических
решений.
Получив некоторое представление о существующих подходах к классификации игр, можно
остановиться на оценках игры.
Рассмотрим матричную игру, представленную матрицей выигрышей тхп, где число строк
m
i
,
1
,
а число столбцов
n
j
,
1
(см. табл. 2.1). Применим принцип получения максимального га-
рантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию,
которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стремится
принять стратегию, обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих
подхода.
Подход игрока 1.Он должен получить максимальный гарантированный результат при наихудших
условиях. Значит, при выборе отвечающей этим условиям своей чистой стратегии он должен выбрать
гарантированный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего выигрыша а,.,
которое обозначим
Чтобы этот гарантированный эффект в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех а,
выбрать наибольшее значение. Обозначим его а и назовем чистой нижней ценой игры («максимин»):
Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка матрицы, которой соответствует элемент
i
. Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией гарантировал
себе выигрыш, не меньший, чем
. Таково оптимальное поведение игрока 1.
Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1,
поэтому при каждой j-й чистой стратегии он отыскивает величину своего максимального проигрыша
в каждом j-м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 применит j-
ю чистую стратегию. Из всех своих n j-х чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1
получит минимальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры («минимакс»):
Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может гарантировать игрок
1, применяя свои чистые стратегии, - выигрыш, не меньший, чем
. Игрок 2 за счет указанного выше
выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы игрок 1 мог получить выигрыш, больший, чем
.
Таким образом, минимаксная стратегия отображается столбцом платежной матрицы, в котором
находится элемент
(см. табл. 2.1). Она является оптимальной чистой гарантирующей стратегией
игрока 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.
Чистая цена игры v - цена данной игры, если нижняя и верхняя ее цены совпадают:
В этом случае игра называется игрой с седловой точкой.
Пример 2.1. Определить верхнюю и нижнюю цены при заданной матрице игры и указать
максиминную и минимаксную стратегии. Представим матрицу игры с обозначениями стратегий
j
,
.
j
, (табл. 2.2).
Т а б л и ц а 2.2