 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
49
в случае градиентных методов, может быть осуществлен за счет подбора соответствующих
начальных приближений х
(0)
.
Однако существует один класс функций, для которых градиентные методы приводят к нахождению
глобального оптимума. Это выпуклые функции.
Функция f(x) = f (x1, x2, …, x
n
)
называется выпуклой в области D, если для любых двух точек х
(1)
,
х
(2)
D и любого ?
[0,1] выполняется неравенство
если же
то функция называется вогнутой.
Геометрический смысл понятий выпуклости и вогнутости для случая функции одной переменной
представлен на рис. 2.3. Из него, в частности, видно, что график выпуклой функции лежит ниже
отрезка, соединяющего точки (х
(1)
, f(x(
1)
)) и (х
(2)
, f(x
(2)
)), а график вогнутой — выше.
Можно доказать, что достаточным условием выпуклости функции
f (x1, x2, …, x
n
) является
положительная определенность матрицы
называемой также матрицей Гессе, во всех точках х
D. Соответственно, достаточным условием
вогнутости является отрицательная определенность матрицы Гессе. В частности, для функций одной
переменной достаточным условием выпуклости (вогнутости) является выполнение неравенства f
n
(x)
?0
(f
n
(x)
?0)
.
Как следует из геометрической интерпретации, для выпуклой функции локальный экстремум, если
он существует, совпадает с глобальным. Справедлива теорема.
Теорема 2.2. Если f(x) выпуклая (вогнутая) на R
n
функция и
f(x*)=0, то х* — точка глобального
минимума (максимума).