 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
45
либо, добавив фиктивные переменные у, к системе уравнений:
Перечислим свойства ЗНП, которые существенно усложняют процесс их решения по сравнению с
задачами линейного программирования:
1. Множество допустимых планов
D может иметь очень сложную структуру (например, быть
невыпуклым или несвязным).
2. Глобальный максимум (минимум) может достигаться как внутри множества D, так и на его
границах (где он, вообще говоря, будет не совпадать ни с одним из локальных экстремумов).
3. Целевая функция f может быть недифференцируемой, что затрудняет применение классических
методов математического анализа.
В силу названных факторов задачи нелинейного программирования настолько разнообразны, что для
них не существует общего метода решения.
2.1.2. Решение задач условной оптимизации методом Лагранжа. Одним из наиболее общих
подходов к решению задачи поиска экстремума (локального максимума или минимума) функции при
наличии связующих ограничений на ее переменные (или, как еще говорят, задачи условной
оптимизации) является метод Лагранжа. Многим читателям он должен быть известен из курса
дифференциального исчисления. Идея данного метода состоит в сведении задачи поиска условного
экcтремума целевой функции
на множестве допустимых значения D, описываемом системой уравнений
к задаче безусловной оптимизации функции
где
u
R
m
— вектор дополнительных переменных, называемых множителями Лагранжа. Функцию
Ф(х,и), где x
R
n
, u
R
n
, называют функцией Лагранжа. В случае дифференцируемости функций f и g
i
справедлива теорема, определяющая необходимое условие существования точки условного экстремума
в задаче (2.3)-(2.4). Поскольку она непосредственно относится к предмету математического анализа,
приведем ее без доказательства.
Теорема 2.1. Если х* является точкой условного экстремума функции (2.3) при ограничениях
(2.4) и ранг матрицы первых частных производных функций
равен т, то существуют такие и1
*
, и2
*
,...,и
m
*
, не равные одновременно нулю, при
которых