 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
103
отдельно взятый субъект, обладающий единственной целью.
Принципиально иная ситуация возникает при изучении процессов принятия решений несколькими
субъектами, интересы которых могут не совпадать. При этом возникают задачи со многими целевыми
функциями (критериями). Область математики, изучающая данные проблемы, получила название тео-
рии игр. Задачи теории игр относятся к области принятия решений в условиях неопределенности, а их
специфика состоит в том, что, как правило, подразумевается неопределенность, возникающая в
результате действий двух или более «разумных» противников, способных оптимизировать свое
поведение за счет других. Среди типичных примеров такого поведения могут быть названы действия
конкурирующих фирм на одном рынке или планирование военных операций.
Одним из основных вопросов в задачах с коллективным выбором решений является вопрос об
определении оптимальности, т. е. вопрос, какие решения следует признавать наилучшими в ситуации
оптимизации по нескольким критериям, отражающим различные интересы. Многие методы решения
проблем теории игр основываются на сведении их к задачам математического программирования. На
наиболее простых из них мы остановимся в настоящей главе.
Теория игр берет начало от работ Э. Бореля (1921 г.), а принципиальным этапом в ее становлении как
самостоятельного научного направления стала монография Дж. Неймана, вышедшая в 1944 г. [25].
6.1.2. Терминология и классификация игр. Особенностью теории игр как научной дисциплины
стала употребляемая в ней специфическая терминология. Термин «игра» применяется для обозначения
совокупности правил и соглашений, которыми руководствуются субъекты, поведение которых мы
изучаем. Каждый такой субъект k, где
k?l:K, или игрок, характеризуется наличием индивидуальной
системы целевых установок и стратегий s1
k
,
s2
k
, ..., s
mk
k
,
т. е. возможных вариантов действий в игре.
Достаточно распространенный способ математического описания игры основан на задании функций
f
k
(s¹
i1
,
s²
i2
, ..., s
k
ik
, ..., s
K
ik
), каждая из которых определяет результат (платеж, выигрыш), получаемый k-м
игроком в зависимости от набора стратегий
S =
(s¹
i1
,
s²
i2
, ..., s
k
ik
, ..., s
K
ik
), примененного всеми участ-
никами игры. Функции f
k
, k?l:K также называют функциями выигрыша, или платежными функциями.
В том случае, если для любых S
игра называется игрой с нулевой суммой. Игру с двумя участниками и нулевой суммой называют
антагонистической. Антагонистические игры, т. е. игры, в которых выигрыш одного участника равен
проигрышу другого, в силу относительно простой постановки задачи являются наиболее изученным
разделом теории игр. Однако содержание теории игр, безусловно, не исчерпывается ими. В
классификации игровых моделей выделяют игры с конечными и бесконечными наборами стратегий у
игроков, выделяют игры по возможным количествам ходов у участников. Также игры делят на
некооперативные и кооперативные, т. е. те, в которых функции выигрыша участников зависят от
образуемых ими коалиций. Помимо этого игры можно различать по объему информации, имеющейся у
игроков относительно прошлых ходов. В этой связи они делятся на игры с полной и неполной
информацией. Заинтересованный читатель может обратиться к таким источникам, как [17, 23].
6.1.3. Матричные игры и понятие седловой точки. Рассмотрим более подробно антагонистические
игры и их основные свойства. Удобным способом задания игры двух участников с нулевой суммой
является платежная матрица. Отсюда, кстати, происходит еще одно их название — матричные игры.
Каждый элемент платежной матрицы а
ij
содержит числовое значение выигрыша игрока I (проигрыша
игрока II), если первый применяет стратегию i, а второй — стратегию j. Термины выигрыш и проигрыш
следует понимать в широком смысле, т. к. они могут принимать отрицательные значения и с житейской
точки зрения означать противоположное. Нетривиальность задачи прежде всего заключается в том, что
каждый из игроков делает свой выбор, не зная о выборе другого, что существенно осложняет процесс
оптимизации выбираемой стратегии.
Классическим примером антагонистической игры является игра с двумя участниками,
загадывающими независимо друг от
друга числа. Предполагается, что если их сумма оказывается чет-
ной, то выигрыш, равный 1, достается первому игроку, а если нечетной, то второму. Положив, что для
обоих игроков загадывание нечетного числа является первой стратегией, а четного — второй, можем
записать платежную матрицу данной игры: