 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
37
логических кванторов, характеризующих объем суждения. Прежде чем перейти к его обсуждению,
рассмотрим понятие функции-высказывания, которое играет важную роль в логике.
Высказывания в функции-высказывании оцениваются с точки зрения их истинностного
значения, поэтому такая функция называется также истинностной функцией. Она образуется
по аналогии с математической функцией, но в отличие от последней, аргументами в ней
являются не числа и другие математические объекты, а логические объекты – высказывания.
В связи с этим ее называют также пропозициональной функцией или – что менее благозвучно –
высказывательной функцией. Значениями ее аргументов и самой функции являются "истина" и
"ложь". Таким образом, здесь мы имеем дело с пропозициональной функцией двузначной
классической логики.
Чтобы определить понятие пропозициональной функции, рассмотрим следующие примеры:
х
– простое число;
у
– металл;
z
– студент.
По форме эти выражения напоминают высказывания, но они не определяют никакого конкретного
высказывания, ибо содержат переменные, значение которых остается неизвестным. Здесь
напрашивается аналогия с алгебраическими функциями или формулами, которые могут выражать
конкретные арифметические зависимости. Так, например, линейная функция у = ax + в получает вполне
определенное значение, если вместо постоянных и переменных подставляются конкретные числа.
Точно так же пропозициональные функции логики превращаются в конкретные высказывания, если
вместо логических переменных подставляются определенные имена. Так, в первом примере, если
вместо х подставить число 3, то получится истинное высказывание "3 – простое число". Если же вместо
х подставляется число 4, то получится ложное высказывание "4 – простое число". Соответственно этому
во втором примере, если вместо у подставить "железо", то получится истинное высказывание "железо-
металл". Если вместо у подставляется "фосфор", то получится ложное высказывание "фосфор – металл".
Наконец, в третьем примере, если вместо переменной подставить фамилию студента Иванова, то
получится истинное высказывание "Иванов – студент". Итак, одни значения переменных
удовлетворяют пропозициональным функциям, другие нет, т.е. в первом случае они превращают их в
истинные, во втором – в ложные, но в обоих случаях делают их определенными, конкретными
высказываниями.
Отсюда легко дать определение пропозициональной функции, под которой мы будем понимать
любое выражение, содержащее переменные, которые при подстановке вместо них постоянных
превращают выражение в конкретное высказывание.
Здесь просматривается явная аналогия между логическими, пропозициональными и
математическими функциями. Но аналогия не означает тождества, так как в пропозициональной
функции вместо переменных можно подставлять имена не только чисел, но и любых нематематичесих
объектов, как показывают второй и третий примеры. С этой точки зрения пропозициональная функция
является более глубокой абстракцией, чем математическая функция, хотя и аналогична ей.
Чтобы превратить пропозициональные функции в подлинные высказывания, можно, во-первых,
придать переменным конкретные значения, как это было показано выше; во-вторых, можно пойти по
линии квантификации высказываний. Для пояснения обратимся к примеру. Выражение
x + y = y + x
можно превратить в конкретное высказывание, если вместо переменных х и у взять определенные
числа. Но можно получить высказывание общего характера, если мы свяжем переменные кванторами,
которые показывают, что рассматриваемое тождество выполняется для всех чисел. Поэтому мы можем
записать его в следующей форме:
(х)(у)(х + у = у + х),
где (х) и (у) обозначают кванторы общности, которые часто называют также универсальными
кванторами. Эта формула выражает истинное общее высказывание, известное как коммутативный
(переместительный) закон для сложения, который обычно словесно передают так: сумма не меняется от