 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
131
Интересно, например, как изменяются цены на какао на биржах Лондона и Нью-Йорка
(Samuelson, 1971). Столкнувшись при этом с неудобоваримой системой нелинейных
разностных уравнений и неравенств, я было отчаялся найти в математической литературе
доказательство хотя бы существования решения. Но неожиданно проблема облегчилась,
когда, роясь в своей памяти, я вспомнил, что мои дескриптивные соотношения могут
интерпретироваться как необходимые и достаточные условия вполне определенной задачи о
максимуме. Однако я забегу слишком далеко вперед, если сразу же создам у вас
впечатление, что принципы максимума имеют ценность просто как удобная подпорка для
аналитика. Семьдесят лет назад, когда был учрежден Нобелевский фонд, непревзойденной
популярностью пользовались взгляды Эрнста Маха.* Мах, как вы помните, говорил, что цель
научной деятельности заключается в "экономном" описании природы. Он вовсе не хотел
этим сказать, что создать свою систему мира Ньютона побудила необходимость разработать
основы навигации для обеспечения безопасного мореплавания торговых судов. Скорее, он
имел в виду, что хорошее объяснение — это простое объяснение, которое легко запомнить и
которое увязывается с большим разнообразием наблюдаемых явлений. Было бы ошибкой в
духе Гиббона иллюстрировать это деистическими взглядами Мопертюи, в соответствии с
которыми законы природы телеологичны. Мах вовсе не говорил, что Мать-Природа —
экономист, он лишь утверждал, что уч¸ный, формулирующий законы, которые описывают
наблюдаемые явления, в сущности выступает как экономист или просто ведущий себя
экономно человек.
* Вне зависимости от ценности концепций Маха с современной точки зрения, мы
должны быть благодарны ему за ту роль, которую его идеи сыграли в создании Эйнштейном
специальной теории относительности. Хотя с годами Эйнштейн и стал отвергать
методологию Маха это не может подорвать ее репутацию.
Я должен отметить, что эти различные роли почти по случайному стечению
обстоятельств действительно тесно связаны. Часто физику уда¸тся найти лучшее, более
экономное описание явлений природы, если он способен сформулировать наблюдаемые
законы, используя принцип максимума. Экономист часто может получить лучшее, более
экономное описание экономического поведения, используя тот же инструментарий.
Позвольте мне проиллюстрировать это очень простыми примерами. Падение Ньютонова
яблока может быть описано двумя способами: оно падает на землю с постоянным
ускорением; или его положение как функция времени изменяется вдоль кривой, которая
минимизирует (от момента начала падения до момента наблюдения) интеграл функции,
представляющей собой квадрат мгновенной скорости минус линейная функция положения.
"Как, — скажете вы, — Вы серь¸зно считаете, что второе объяснение является простым
7
" Я
не буду с этим спорить, замечу только, что для математически подкованного физика
выражение
не более сложно, чем х = -g; и он знает, что формулировка принципа Гамильтона в
вариационной форме обладает великими мнемоническими свойствами, когда речь ид¸т о
переходе от одной системы координат к другой.
Хотя я не физик и не думаю, что многие из моих слушателей — физики, позвольте мне
привести более наглядный пример полезности принципа максимума в физике. Свет
перемещается в воздухе из одной точки в другую по прямой линии. Подобно случаю с
падающим яблоком, это перемещение может быть описано в виде решения задачи
вариационного исчисления на нахождение минимума. Но рассмотрим теперь, как свет
отражается, попадая на зеркало. Вы можете увидеть и запомнить, что угол падения равен
углу отражения. Более наглядным средством, облегчающим понимание этого факта, является