 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
75
а
х² + b
x + с = 0.
Дано:
a, b, с - коэффициенты.
Треб.:
х1, х2 - корни.
Где:
а
х1² + b
х1 + с = 0.
а
х2² + b
х2 + с = 0.
При:
а
0.
Наличие точной постановки задач позволяет говорить о правильности не только конеч-
ных результатов, но и различных способов и методов их решения.
Способ правильный, если он дает правильные результаты. Способ неправильный, если он
дает неправильные результаты или не дает результатов вообще.
Метод неправильный, если существуют допустимые данные, для которых он дает непра-
вильные результаты либо не дает результатов вообще.
Метод правильный, если он дает правильные результаты для любой задачи данного клас-
са. Использование правильных методов служит основой для составления алгоритмов и программ,
не содержащих ошибок.
В рассматриваемом примере решения квадратных уравнений общим методом является вы-
числение корней с помощью дискриминанта.
Метод решения
x1 = (-b +
D
)/(2
а),
x2 = (-b -
D
)/(2
a),
где
{ D = b² - 4
а
с.
Правильность общих методов проверяется подстановкой расчетных формул в исходное
уравнение. Получение тождеств в результате подстановок говорит о правильности выбранных
расчетных формул.
Для первого корня х1 = (-b +
D
)/(2
a) подстановка и тождественные преобразования фор-
мул дадут:
а
х1² + b
х1 + с = а
[(-b +
D
)/(2
а)]² + b
(-b +
D
)/(2
a) + с =
= (-b +
D
)²/(4
а) + b
(-b +
D
)/(2
a) + с = (b +
D
)
(-b +
D
)/(4
а) + с =
= (-b² + D)/(4
a) + с = (-b² + b² - 4
а
с)/(4
а) + с = -4
а
с/(4
а) + с = 0.
Аналогичные результаты получаются и при подстановке формулы второго корня
х2 = (-b -
D
)/(2
a). После выполнения аналогичных преобразований будет получено такое
же тождество. И на основании этих проверок можно сделать заключение, что рассмотренный ме-
тод дает правильные результаты для любык допустимых данных.
Однако саму постановку задачи необходимо дополнить условием: b² - 4
а
с
0. При нару-
шении этого условия не только уравнение не имеет решений, но и метод решения также не дает
результатов из-за необходимости вычисления корней от отрицательного дискриминанта: D < 0.
В силу выбранного метода решения и принятой постановки алгоритм решения квадратных
уравнений приобретает следующий вид:
алг «квадратное уравнение»
Результаты вычислений
нач
если а
О то
при а
0
D: = b*b - 4*а*с
D = b² - 4
а
с
если D > = 0 то
при D >= 0
х1: = (-b +
D
)/(2*a)
х1 = (-b +
D
)/(2
a)
х2: = (-b -
D
)/(2*a)
х2 = (-b -
D
)/(2
a)
все
инеc а = 0 то
при а = 0
если b
0
при b
0
х 1: = -c/b
xl = -c/b
все