 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
6
Если j-й продукт производится в количестве x
j
, то в рамках описанных выше технологий мы должны
потратить a
1,j
x
j
первого ресурса, a2
,j
x
j
— второго, и так далее, a
m,j
x
j
- m-го. Сводный план производства
по всем продуктам может быть представлен в виде n-мерного вектора-строки х = (х1, х2,...,х
j
,...,х
n
). Тогда
общие затраты по i-му ресурсу на производство всех продуктов можно выразить в виде суммы
представляющей собой скалярное произведение векторов а
j
и х. Очевидно, что всякая реальная
производственная система имеет ограничения на ресурсы, которые она тратит в процессе производства.
В рамках излагаемой модели эти ограничения порождаются m-мерным вектором b=(b1, b2,...,b
m
), где b
i
— максимальное количество i-гo продукта, которое можно потратить в производственном процессе. В
математической форме данные ограничения представляются в виде системы m неравенств:
Применяя правила матричной алгебры, систему (7) можно записать в краткой форме, представив
левую часть как произведение матрицы А на вектор х, а правую — как вектор b:
К системе (8) также должны быть добавлены естественные ограничения на неотрицательность
компонентов плана производства: х1
?
0,..., х
j
?0, ....
х
n
?
0, или, что то же самое,
Обозначив через с
j
цену единицы j-го продукта, получим выражение суммарного дохода от
выполнения плана производства, задаваемого вектором х:
Формулы (8)-(10) являются не чем иным, как простейшей математической моделью, описывающей
отдельные стороны функционирования некоторого экономического объекта, поведением которого мы
хотим управлять. В рамках данной модели, вообще говоря, можно поставить различные задачи, но,
скорее всего, самой «естественной» будет задача поиска такого плана производства х ? R
n
, который
дает наибольшее значение суммарного дохода, т. е. функции (10), и одновременно удовлетворяет
системе ограничений (8)-(9). Кратко такую задачу можно записать в следующем виде:
Несмотря на явную условность рассматриваемой ситуации и кажущуюся простоту задачи (11), ее
решение является далеко
не тривиальным и во многом стало практически возможным только после
разработки специального математического аппарата. Существенным достоинством используемых здесь