 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
38
Неравенство (4.2) характерно для функции полезности ЛПР, не склонных к риску. Оно
действительно показывает, что полезность среднего выигрыша (полезность ОДО) больше ожидаемой
полезности игры: с вероятностью р выиграть М1 и с вероятностью (1 – р) выиграть М2.
Аналогично можно показать, что для функций полезности ЛПР, склонных к риску, справедливо
неравенство
U(pM1 + (1 – р)М2) < pU(M1) + (1 – p)U(M2).
(4.3)
Для функций полезности ЛПР, безразличных (нейтральных) к риску, имеет место равенство
U(pM1 + (1 – р)М2) = pU(M1) + (1 – p)U(M2).
(4.4)
Склонность или несклонность ЛПР к риску, как уже отмечалось, зависит от его финансового
положения, текущей ситуации принятия решения и других факторов. Иначе говоря, эта харак-
теристика ЛПР не является абсолютной, присущей ему при любых обстоятельствах.
Приведем пример игры, по отношению к которой любой игрок не склонен к риску.
Петербургский парадокс (игра придумана петербургскими гусарами). Играют двое. Один бросает
монету до тех пор, пока не выпадет «орел». Выигрыш равен (2)
n
руб., где п - число бросков до
появления «орла». Ожидаемая величина выигрыша:
ОДО = 2(1/2) + (2)² (1/4) + (2)³(1/8) + ... = 1+1+1+ ... .
Вряд ли какой-либо игрок согласится заплатить за право участвовать в этой игре сумму, равную
ОДО: эта сумма бесконечно велика.
Предположим теперь, что имеет место игра (лотерея) с альтернативами a и в, т.е.
G(a,в:
).
Исследуем проблему, как целесообразнее поступить ЛПР: играть или получить гарантированный
выигрыш, равный ожидаемому выигрышу. Пусть функция полезности игрока определена как U(W) =
ln(W), где W- величина благосостояния. Пусть игра заключается в выигрыше 5 дол. с вероятностью
0,8 и в выигрыше 30 дол. с вероятностью 0,2. Ожидаемая величина выигрыша (ОДО):
E(W) = 5*0,8 + 30*0,2 = 10 дол.
Для указанной логарифмической функции полезности имеем зависимость, выраженную в табл.
4.1.
Таблица 4.1
W
1
5
10
20
30
U(W
)
0
1,61
2,30
3,00
3,40
Рассчитаем полезность ОДО для данной игры:
U(E(W)) = U(10) = ln(10) = 2,3,
т.е. полезность отказа от игры при получении гарантированного выигрыша, равного 10 дол. (ОДО
данной игры), оценивается в 2,3 ютиля (ютиль - условная единица полезности). Если ЛПР
предпочтет игру, то
E(U(W)) = 0,8U(5) + 0,2U(30) = 0,8*1,61 + 0,2*3,40 = 1,97 ютиля.
Для рассмотренной логарифмической функции полезности большей полезностью обладает
вариант с получением гарантированного выигрыша, равного E(W)=ОДО, а не участие в игре (2,3 >
1,97). Такое лицо, принимающее решение, не склонно к риску.
Выводы. Из соотношении (4.2) – (4.4) вытекает:
• если U(E(W)) > E(U(W)), игрок не склонен к риску;
• если U(E(W)) = E(U(W)), игрок нейтрален (безразличен) к риску;
• если U(E(W)) < E(U(W}), игрок склонен к риску.
Здесь Е и U - соответственно символы математического ожидания и функции полезности.
4.3. СТРАХОВАНИЕ ОТ РИСКА
Пусть по-прежнему полезность выражается логарифмической зависимостью
U(W) = ln(W) (см.
табл. 4.1).
Определим, какую максимальную сумму пожелает заплатить ЛПР, чтобы избежать игры, в
которой с вероятностью 0,8 он выигрывает 5 дол. (уменьшение выигрыша на 5 дол. по сравнению с
ОДО = 10 дол.) и с вероятностью 0,2 выигрывает 30 дол. (увеличение выигрыша на 20 дол. по
сравнению с ОДО). Значение ожидаемой полезности игры составляет 1,97 ютиля, что соответствует
гарантированному выигрышу 7,17 дол. (ln7,17 = 1,97). С другой стороны, сумма ожидаемого