 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
57
Доказательство.
По определению седловой точки
при всех x?X, и
?
0. Из второго неравенства в (2.32) следует, что
Однако (2.33) может иметь место только тогда, когда g
i
(x)
?0
при всех i?1:m. Действительно, если
существует такое
k, что
g
k
(x)>0, то, положив и
i
=0 для всех
i
? k
и выбрав достаточно большое и
k
> 0,
можно добиться того, что значение
окажется больше постоянного выражения
Из того, что для всех i?1:m выполняются неравенства
g
i
(x)
?0
, следует, что х является допустимым
планом задачи (2.28).
Если в левую часть неравенства (2.33) подставить значения u
i
= 0, i?1:m, то получим, что
Вместе с тем из того что, g
i
(x)
?0
и u
i
?0,
следует оценка
Совместное рассмотрение последних двух неравенств приводит к правилу дополняющей
нежесткости в точке х:
Тогда на основании левой части неравенства седловой точки (2.32) имеем, что для всех х?Х (в том
числе и для х?D)
Но условию ЗНП для любых
х?D
верны неравенства g
i
(x)
?0
, что, в сочетании с условием u
i
?0,
позволяет записать