 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
105
Нетрудно заметить, что не всякая игра обладает седловой точкой. В частности, как игра (6.1), так и
игра (6.2) седловой точки не имеют. Примером игры, имеющей седловую точку, является игра с
платежной матрицей (6.5).
В данной матрице минимальные (гарантированные) выигрыши первого игрока по строкам равны 1, 5
и (-3). Следовательно, его максиминному выбору будет отвечать стратегия 2, гарантирующая выигрыш
5. Для второго игрока максимальные проигрыши по столбцам матрицы составят 8, 10, 5, 17, поэтому
имеет смысл остановиться на стратегии 3, при которой он проиграет только 5. Таким образом, вторая
стратегия первого игрока и третья стратегия второго образуют седловую точку со значением 5, т. е. для
игры с матрицей (6.5) имеет решение (2; 3; 5).
6.1.4. Смешанные стратегии. Дальнейшее развитие теории матричных игр основывается на
исследовании игры как некоторого повторяющегося процесса. Действительно, вряд ли можно дать
содержательные рекомендации по такому вопросу, как следует поступать участникам однократно
проводимой игры, не имеющей седловой точки. В случае же ее многократных повторов естественной и
плодотворной представляется идея рандомизации выбора стратегий игроками, т. е. внесение в процесс
выбора элемента случайности. Действительно, систематическое отклонение, например, игрока I от
максиминной стратегии с целью увеличения выигрыша может быть зафиксировано вторым игроком и
наказано. В то же время абсолютно хаотичный выбор стратегий не принесет в среднем наилучшего
результата.
Смешанной стратегией
игрока I в игре с матрицей A=
¦
a
i,j
¦
mxn
называется упорядоченный набор
действительных чисел x
i
, i?1:m, удовлетворяющих условиям
Числа интерпретируются как вероятности применения игроком I стратегий 1, 2,..., m, которые, в
отличие от смешанных, также называют чистыми стратегиями.
Аналогично вводится понятие смешанных стратегий игрока II, которые определяются как набор
чисел у
j
, j?1:n , удовлетворяющих условиям
Тогда, если игрок I применяет смешанную стратегию х
=
(х1, х2,..., х
m
) а игрок II смешанную
стратегию y
=
(y1, y2,..., y
n
), то математическое ожидание выигрыша игрока I (проигрыша игрока II)
определяется соотношением
*
* Напомним, что при многократном повторении игры средний выигрыш близок к математическому ожиданию.
В дальнейшем через Х будем обозначать множество допустимых смешанных стратегий игрока I,
определяемое условием 6.7, а через Y — определяемое условием 6.8 множество допустимых смешанных
стратегий игрока II.
К поиску решения игры в смешанных стратегиях, так же как и в п. 6.1.3, могут быть применены
критерии максимина-минимакса. В соответствии с ними игрок I будет выбирать свою смешанную
стратегию х = (х1, х2,..., х
m
) таким образом, чтобы максимизировать наименьший средний выигрыш: