 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
64
вопрос об общезначимости формулы А или логического следствия А¹, А²,..., Аm
| = В. Ведь подобный
результат мог бы свидетельствовать не только о необщезначимости формулы и неправильности
логического следствия, но и о том, что нам не удалось найти комбинацию формул, которая привела бы
к замыканию таблицы.
Решающая роль при построении аналитической таблицы принадлежит правилам редукции, с
помощью которых происходит переход от формул на строке п таблицы к следующей строке п + 1.
Правило конъюнкции (
). Допустим, что на одной строке таблицы мы имеем список формул: Г, А
В, ?,
где Г
– последовательность формул, предшествующих конъюнкции, а д – последовательность
формул, следующая за ней. Поскольку из истинности конъюнкции можно сделать вывод об истинности
каждого ее члена, то всюду, где она встречается, вместо истинной конъюнкции можно переходить к ее
членам. В результате можно перейти от некоторой строки п к строке п + 1, оставляя при этом остальные
списки неизменными:
Г, А
В,
?
Г, А, В,
?
Правило дизъюнкции (
) разрешает перейти от строки, в которой встречается она, к другой, где
вместо дизъюнкции встречаются два списка, в одном из которых находится один дизъюнктивный член,
во втором – другой:
Г, А
В, ?
Г, А ? | Г,B,?
Это правило основывается на том, что дизъюнкция является истинной, если по крайней мере один из
ее членов истинен, а поэтому при переходе от одной строки к другой мы получаем два списка,
отделенных вертикальной чертой, в одном из которых встречается один член, во втором – другой.
Правило импликации (
>)
разрешает переходить от строки, где она встречается, к другой, в
которой встречаются два списка формул, в одной из них содержится отрицание антецедента, в другой –
консеквент импликации:
Г, А
>
В,
?
Г, ¬ А,
? |
Г, В,
?
Действительно, импликация будет истинна, если ложен ее антецедент или истинен консеквент, что и
представлено в заключении вывода.
Правило отрицания конъюнкции разрешает в заключении переходить к отрицанию
конъюнктивных членов, поскольку отрицание конъюнкции означает отрицание этих членов.
Г, ¬ (А
В)
Г, ¬ А, ? ¬
Г, ¬
В, ?
Правило отрицания дизъюнкции разрешает в заключении переходить от отрицания дизъюнкции к
отрицательным членам дизъюнкции, ибо дизъюнкция является ложной только тогда, когда ложны все
члены дизъюнкции:
Г, ¬ (А
В), ?
Г, ¬ А, ¬ В, ?
Правило отрицания импликации разрешает в заключении переходить от отрицания импликации к
утверждению ее антецедента и отрицанию консеквента, так как импликация оказывается ложной только
тогда, когда антецедент истинен, а консеквент ложен:
Г, ¬ (А
>
В),
?
Г, А, ¬ В, ?
Двойное отрицание в одной строке может быть заменено утверждением в другой:
Г, ¬ ¬ А, ?
Г, А, ?
Квантор существования, который стоит перед формулой А, указывает на наличие объекта,
удовлетворяющего
А. Назовем этот объект константой к. Очевидно, что А(к) будет истинно, ибо к удовлетворяет условию
А:
Г, (Ех) А, ?