 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
60
(х) А ~ ¬ (Ех) ¬ А;
(Ех) А ~ ¬ (х) ¬ А.
Здесь всюду А обозначает любую формулу объектного (предметного) языка. Смысл отрицания
кванторов очевиден: если неверно, что для любого х имеет место А, тогда существуют такие х, для
которых А не имеет места. Отсюда также следует, что если: любому х присуще А, тогда не существует
такого х, которому было бы присуще не-А, что символически представлено в первом законе
взаимовыразимости.
4.3. Исчисление предикатов
Построение исчисления предикатов осуществляется, с одной стороны, аналогично построению
исчисления высказываний, а с другой – качественно отличается от него.
Сходство и даже связь между обоими исчислениями заключается, во-первых, в том, что значение,
которое принимает пропозициональная функция (предикат) из универсума рассуждения, при
соответствующих аргументах может быть либо истинным, либо ложным. Во-вторых, все логические
связки (операторы), которые рассматривались в предыдущей главе – отрицание, дизъюнкция,
конъюнкция, импликация – используются и в исчислении предикатов. Следовательно, для определения
истинностного значения пропозициональной функции таблица истинности, с которой мы знакомы,
может применяться в принципе и здесь, однако на практике такой способ оказывается крайне
громоздким и неэффективным.
Прежде всего в исчислении предикатов используются кванторы. Кроме того, для определения
истинности пропозициональной функции необходимо установить определенное соответствие между
функцией и теми независимыми переменными (аргументами), которые составляют область ее
определения (универсум рассуждения). Например, если универсум для отношения х < у составляет
множество пар целых положительных чисел, то для определения значения истинности этого отношения
необходимо установить соответствие (функцию) между любой парой чисел х и у из универсума и
отношением х < у. Очевидно, что при х = 2 и у = 3 высказывание, полученное путем подстановки этих
чисел в формулу, будет истинным, а при х=5 и у=3– ложным.
Функция, которая соотносит независимым переменным из ее универсума соответствующее значение
истинности или ложности, называют логической, интерпретационной или семантической.
В общем случае, если предикат Р зависит от п индивидных (предметных) переменных, т.е. Р (х¹,
х²,..., xn), то каждой п-ке переменных из универсума семантическая
функция будут соотносить значение
"истина" или "ложь". Если n=0, мы получим отдельное, нерасчлененное высказывание (законы
исчисления таких высказываний рассматривались в предыдущей главе). Следовательно, исчисление
высказываний может быть получено в качестве частного случая исчисления предикатов, а тем самым
устанавливается связь между ними. При п = 1, т.е. Р(х), предикат является свойством, при п = 2, 3, 4
получаем бинарные, тернарные и тому подобные отношения.
Поскольку в исчислении предикатов применяются кванторы, при определении истинностного
значения пропозициональной функции необходимо установить процедуру для вычисления формул
вида:
(х) А и (Ех) А,
где А, как обычно, обозначает любую формулу предметного языка.
Их значения мы сможем вычислить лишь тогда, когда сумеем соотнести некоторую семантическую
функцию с в формуле А. Другими словами, когда при произвольном выборе элемента х из универсума –
причем свободно входящего в формулу А – сможем приписать А в качестве ее значения семантическую
функцию с. Тогда будем считать, что формула (х) А будет истинна, если приписанная ей семантическая
функция будет всегда принимать значение истины. В противном случае (х) А будет ложно. Аналогично
этому (Ех) А будет истинно, если среди значений его семантической функции найдется по крайней мере
одно истинное утверждение. В противном случае оно будет считаться ложным.
Опираясь на эти определения, мы можем теперь вычислить таблицу истинности для произвольной
формулы, например, формулы, универсум которой состоит всего из двух объектов: 1 и 2.
Чтобы вычислить истинностные значения, например, формулы
Р(у) v (х) (Р(х)
>
Q).
необходимо учесть определенное распределение, состоящее из семантической функции для Р(х),
значения истинности подформулы Q и значения для свободной переменной у. В связи с этим на входах
таблицы истинности для рассматриваемой формулы будут три величины. Но предварительно следует