 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
47
3.6. Доказуемость и выводимость
До сих пор при определении истинности или ложности сложных высказываний, состоящих из
простых, мы опирались на таблицы истинности. Но этот способ неудобен, громоздок, особенно когда
приходится иметь дело с большим числом простых высказываний. Напомним, что при двух простых
высказываниях таблица истинности содержит четыре строки, при трех – восемь, а для 12 высказываний
потребовалось бы уже 4096 строк. Вот почему в логике наряду с табличным методом часто используют
метод, опирающийся на вывод и доказательство одних высказываний из других.
По своей сути этот метод весьма похож на метод доказательства теорем, который известен из
школьной геометрии. Доказательство там сводилось к логическому выводу теорем из аксиом, а также из
ранее доказанных теорем, которые принимались в качестве истинных утверждений геометрии. В
конечном итоге всякое доказательство сводится к логическому выводу теорем из аксиом, так как ранее
доказанные теоремы также можно логически вывести из аксиом. Таким образом, отличие
доказательства от логического вывода состоит в том, что при доказательстве мы принимаем посылки в
качестве истинных высказываний, а при логическом выводе – в качестве допущений или гипотез.
Отсюда становится ясным различие между истинностью и правильностью рассуждения или мышления,
о котором шла речь в гл. 1. Истинность утверждения предполагает, во-первых, истинность посылок, из
которых оно выводится, и, во-вторых, правильность логического вывода. Вывод может быть сделан из
любых допущений, в том числе из ложных.
Хотя процесс доказательства в логике аналогичен доказательствам в математике, но между ними
есть и существенное различие; оно заключается в том, что в математике мы имеем дело со
специфическими математическими объектами – числами, фигурами, функциями и т.п., а в логике – с
высказываниями, т.е. с логическими объектами. Чтобы отличить объекты разного уровня, для
представления высказываний в математике используется предметный язык, а для анализа предметного
языка – метаязык, на котором формулирует свои утверждения исследователь. Проще говоря, чтобы
рассуждать об объектах предметного языка, необходим метаязык, выступающий в качестве языка
второго уровня. Это обстоятельство следует всегда иметь в виду в дальнейшем.
Чтобы построить доказательство высказывания или формулы в исчислении высказываний,
необходимо:
1) указать те аксиомы или недоказуемые формулы, из которых выводятся все доказуемые формулы или
теоремы;
2) точно сформулировать правила вывода теорем из аксиом.
В принципе к аксиомам исчисления высказываний могут быть отнесены все тавтологии
(общезначимые высказывания), большинство из которых нетрудно проверить с помощью таблиц
истинности. Но обычно ограничиваются перечислением небольшого числа аксиом, из которых
стремятся вывести по правилам логики другие общезначимые высказывания (теоремы). Но любую
теорему можно считать аксиомой, и из новой системы получить прежнюю аксиому как теорему.
Обычно выбор аксиом происходит на основании удобства и целесообразности построения исчисления
высказываний. Мы могли бы выбрать в качестве аксиом некоторые из законов исчисления
высказываний, приведенные в разд. 3.4.
Кроме аксиом, для вывода теорем необходимы правила вывода. В исчислении высказываний
обычно используются два правила: правило отделения и правило подстановки.
Правило отделения (modus ponens
– МР) разрешает из двух высказываний вида А и А
>
В, как
посылок, вывести заключение В. Схематически это правило можно представить так:
А, А
>
В
В
Горизонтальная черта здесь отделяет заключение от посылок. В качестве посылок выступают
антецедент А и сама импликация А
>
В, заключением служит консеквент импликации. Таким образом,
это правило разрешает нам отделить заключение от его посылок как самостоятельное знание. Так, в
математике мы постоянно формулируем теоремы без указания тех посылок, из которых они выведены.
Если при доказательстве ограничиваются только правилом отделения, тогда для этого необходимо
убедиться в истинности посылок и правильности логического вывода. Поскольку в математике
посылками служат в конечном счете аксиомы, принимаемые истинными без доказательства, постольку
само доказательство сводится к проверке правильности логического вывода. В эмпирических науках,