 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
45
Если из А логически следует В, а из В следует А, т.е. А | = В и В | =А, то в этом случае высказывания
А и В будут логически эквивалентными.
Обратимся теперь к другому случаю и определим, например, следует ли формула х
у из формулы
(х
>
у)
(X
¬Y). Для этого снова построим таблицу их истинности (табл. 9).
Однако в этой таблице ни в одной строке высказывания х
>
у и х
¬у не являются одновременно
истинными, а потому их конъюнкция будет ложной. Но импликация из ложного высказывания
считается истинной. Можно сказать поэтому, что из рассматриваемой формулы следует не только
дизъюнкция х
у, но и любая другая формула. Такой парадоксальный результат объяснить нетрудно.
Дело в том, что формула (х
>
у)
(х
¬у) представляет собой логическое противоречие, в чем можно
убедиться, если выразить ее вторую часть через импликацию, т.е. (х
¬у)
- ¬(
x
>
y). Отсюда
непосредственно видно, что второй член конъюнкции является отрицанием первого члена: (х
>
у)
¬(х
> ¬у).
Такого рода высказывания, в котором одно из них что-то утверждает, а другое одновременно
отрицает это, называются
контрадикторными (противоречащими). Согласно известному нам закону
непротиворечия подобные высказывания недопустимы в рассуждении, ибо из логически
противоречивого утверждения следует любое высказывание: истинное или ложное.
Часто противоречивые высказывания называют также несовместными, потому что из несовместных
высказываний логически следует противоречие.
Несовместность (противоречивость) высказываний, которая иногда встречается в рассуждениях,
приводит к тому, что в нем оказываются допустимыми как истинные, так и ложные заключения.
Именно этим обстоятельством широко пользовались античные софисты, стремившиеся обеспечить себе
победу в споре любой ценой, в том числе и путем нарушения законов логики. Очевидно, что для этого
они маскировали свои утверждения, ибо в противном случае оппоненты и слушатели всегда могли
изобличить их в явных противоречиях. Однако никто не застрахован от противоречий и ошибок, но
следует различать ошибки преднамеренные (сознательные) и ошибки не преднамеренные
(неосознаваемые). Если первые, которые часто называют софизмами, следует разоблачать, то вторые,
именуемые паралогизмами, необходимо исправлять. Но в обоих случаях логика служит надежным
инструментом для анализа и раскрытия ошибок, и в особенности определения правильности
логического следования заключения из его посылок.
В первом примере ошибочное заключение было связано с недостаточной точностью его словесной
формулировки, во втором примере – противоречие было замаскировано другой формой символической
записи второй части формулы. Ясно, что если бы противоречие было записано в виде: (х
>
у) и ¬(x
>
у), то сразу стало бы видно, что здесь перед нами противоречие, из которого, как теперь мы знаем,
следует любое заключение: истинное, ложное и даже абсурдное. Нельзя, однако, считать, что
противоречия раскрываются так легко. Как будет показано в гл. 6, противоречия зависят от ряда
условий, выполнение которых обязательно для того, чтобы характеризовать их как противоречия, в
частности чтобы высказывания, из которых одно отрицает другое, характеризовали предмет мысли в
одно и то же время и в одном и том же отношении. С течением времени наши знания изменяются, и
поэтому высказывания, которые характеризовали явления, также могут измениться и перестать
противоречить друг другу.
Легко заметить, что все рассмотренные выше контрадикторные (противоречащие) высказывания
могут быть представлены с помощью общей формулы (А
¬А), где члены конъюнкции А и ¬А являются
выражениями метаязыка, т.е. языка, на котором мы говорим об объектном (предметном) языке.
Метаязык служит для представления высказываний, которые выражаются с помощью переменных х¹,
х², х³,..., xn. В дальнейшем формулы метаязыка будут применяться всякий раз, когда нам придется
говорить о предметном языке, чтобы не загромождать изложение и не выписывать формулы этого
языка.