 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
21
половины круга, хотя гораздо лучше представить объем положительного понятия кругом, а
отрицательного – прямоугольником, в который входит этот круг, поскольку противоположное
(отрицательное) понятие содержит обычно большее число элементов (рис.6).
Поскольку объемы понятий образуют классы (или множества) предметов, элементы которых
обладают признаками, сформулированными в их содержании, то над этими классами (или
множествами) можно производить определенные логические операции. Они тождественны операциям,
которые изучаются в теории множеств.
Объединением классов (или множеств) называют класс, который содержит в своем составе все
элементы, входящие в каждый отдельный класс. Если обозначить отдельные классы через А¹, А², А³,…,
Аn, то объединенное множество можно представить как дизъюнкцию (или логическое сложение) всех
перечисленных классов (или множеств):
UАi = A¹U A²U A³ … UAn.
Например, объединение плоских фигур будет состоять из класса треугольников, класса
четырехугольников, окружностей и других фигур, класс деревьев – из классов хвойных, лиственных и
других деревьев.
Пересечением (или умножением) классов называется новый класс, который содержит в своем
составе те и только те элементы, которые входят в каждый из отдельных классов. Иначе говоря, он
содержит элементы, общие всем отдельным классам. Поэтому сама операция пересечения классов
иногда называется взятием их общей части. Обозначив отдельные классы через А¹, А², А³,…,
Аn, их
пересечение можно представить в виде:
Ai = A¹,
A³,…,
Аn, где знак л обозначает операцию
пересечения, умножения или конъюнкции классов.
Обобщение и ограничение понятий
Под
обобщением понятий подразумевается операция перехода от понятий меньшего объема к
понятиям большего объема, а под
ограничением
– обратный процесс перехода от понятий большего
объема к понятиям меньшего объема. Однако в отличие от предыдущего случая отношений понятий с
фиксированными объемами, при обобщении и ограничении понятий происходит также изменение
содержания понятий, поскольку при обобщении некоторые признаки исключаются, а при ограничении,
наоборот, прибавляются. Это непосредственно следует из закона обратного отношения между объемом
и содержанием понятия.
Обобщение понятий неразрывно связано с процессом абстрагирования, в результате чего
отвлекаются от тех признаков, которые в ходе познания оказываются несущественными, и потому
опускаются. Процесс ограничения связан с противоположным движением мысли, который называется
конкретизацией, или точнее спецификацией. Только благодаря конкретизации общие понятия можно
применять для исследования частных случаев.
Наиболее ясно обобщение и ограничение понятий прослеживается в математике, причем в чистой,
(теоретической) математике преобладает процесс обобщения понятий, а в приложениях математики –
их конкретизация.
Хотя с логической точки зрения такие обобщения понятий представляются вполне ясными и даже
очевидными, но исторически новые понятия и основанные на них теории находили признание не сразу,
не без борьбы мнений и конфликтов. Достаточно лишь отметить, например, с какими трудностями
ученые столкнулись при обобщении понятия числа и введении понятий иррациональных и мнимых
чисел, а в недалеком прошлом – понятий о неевклидовых пространствах и бесконечных множествах. В
неменьшей степени конфликты сопровождали обобщения и введение новых понятий в астрономии
мира, например, гелиоцентрической системы мира (вместо геоцентрической птолемеевой системы
мира), в физике, биологии и других науках.