 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
451
(53.62)
Среди систем одновременных уравнений наиболее простыми являются рекурсивные системы, для
оценивания коэффициентов которых можно использовать метод наименьших квадратов. Систему
(53.61) одновременных уравнений называют рекурсивной, если выполняются следующие условия:
1)
матрица значений эндогенных переменных
является нижней треугольной матрицей, т.е.
?
ij
= 0 при j > 1 и
?
ii
= 1;
2) случайные ошибки не зависимы друг от друга, т.е.
?
ii
> 0, ?
ij
= 0 при i
? j,
где i,
j = 1, 2, ..., G.
Отсюда следует, что ковариационная матрица ошибок М?
t
?
t
T
= ?
(?)
диагональна;
3) каждое ограничение на структурные коэффициенты относится к отдельному уравнению.
Процедура оценивания коэффициентов рекурсивной системы с помощью метода наименьших
квадратов, примененного к отдельному уравнению, приводит к состоятельным оценкам.
В качестве примера рассмотрим ситуацию, которая приводит к рекурсивной системе уравнений.
Предположим, что цены на рынке P
t
в день t зависят от объема продаж в предыдущий день q
t-1
, а объем
покупок
q
t
в день t зависит от цены товара в день t. Математически систему уравнений можно
представить в виде
Случайные возмущения ?
t
и ?
t
можно считать независимыми. Мы получили рекурсивную систему
двух уравнений, причем в правую часть первого уравнения входит предопределенная переменная q
t-1
, а
в правую часть второго — эндогенная переменная P
t
.
Применение метода наименьших квадратов для получения оценок одновременных уравнений
приводит к смещенным и несостоятельным оценкам, поэтому область его применения ограничена
рекурсивными системами. Для оценивания систем одновременных уравнений в настоящее время
наиболее часто используют двухшаговый метод наименьших квадратов, применяемый к каждому
уравнению системы в отдельности, и трехшаговый метод наименьших квадратов, предназначенный для
оценивания всей системы в целом. Сущность двухшагового метода состоит в том, что для оценивания
параметров структурного уравнения метод наименьших квадратов применяют в два этапа. Он дает
состоятельные, но в общем случае смещенные оценки коэффициентов уравнения, является достаточно
простым с теоретической точки зрения и удобным для вычисления.
Согласно алгоритму трехшагового метода наименьших квадратов, первоначально с целью оценки
коэффициентов каждого структурного уравнения применяют двухшаговый метод наименьших
квадратов, а затем определяют оценку для ковариационной матрицы случайных возмущений. После
этого с целью оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших
квадратов.
Пример. Построение эконометрической модели мирового рынка нефти
Очевидно, что модель должна отражать взаимосвязь между тремя основными элементами рыночного
механизма — спросом, ценой и предложением (эндогенными переменными). В свою очередь состояние
указанных элементов в каждый момент можно охарактеризовать с помощью системы объясняющих, экзогенных,
переменных.