 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
103
Положим
t
i
i
t
y
y
1
, тогда у
t
, имеет нормальное распределение, причем
2
2
t
Ey
t
, vaz(y
t
)=t?².
Следовательно,
at
N
t
t
y
at
t
dy.
e
t
e
N
y
p
t)
p
0
2
2
2
ln
2
)
2
(
0
0
2
1
)
ln(
(
Полагая
t
t
y
z
2
, имеем
,
ln
2
2
1
)
(t
0
2
2
lnN
2
0
2
0
2
t
N
t
a
Ф
dz
e
p
t
t
at
z
(10.31)
где Ф(х) =
dz
e
x
z2
2
2
1
– так называемый интеграл ошибок.
Если
a
2
2
>0, т. e.
?
2
>2a, то
t
N
t
a
0
2
ln
2
> ?
при
t> ?,
следовательно,
.
1
2
1
)
(
)
(t
2
0
2
dz
e
Ф
p
z
Проведенный анализ показывает, что преимущественное использование детерминистских, а не
стохастических моделей оправдано лишь тем, что в математическом плане они проще и удобнее. При
этом если детерминистская модель свидетельствует об устойчивом равновесии, то соответствующая
стохастическая модель предсказывает длительное выживание; если же детерминистская модель не
выявляет равновесия или предсказывает неустойчивое равновесие, то стохастическая модель может
предсказать вероятность вымирания.
Контрольные задания
1. Допустим, вероятность
?
рождения особью детеныша в два раза больше
вероятности
?
гибели
самой особи. Определить среднее значение N(t) популяции в момент времени t = 100, вычислить также
вариацию var (N(t)), коэффициент вариации
)
(t
(N(t))
var
N
, найти ограничения на
?
и начальное значение
популяции N
0
,
при котором коэффициент вариации при t = 100 будет меньше 0,1%.
2. В модели, учитывающей случайные изменения среды, будем предполагать, что а=
4
2
. Найти
соотношения между N
0
и
?,
при которых вероятность вымирания популяции при
t = 100 будет больше
90%. (Указание: воспользоваться таблицей значений интеграла вероятностей Ф(z), приведенной,
например, в [6].)
Глава 11. Оптимизационные и игровые модели
11.1. Задача об оптимальном рационе питания
Выше рассмотрены простейшие модели динамики популяций с учетом конкуренции за пищевые
ресурсы и влияния негативных факторов (например, эпидемий). Эти модели можно использовать для
качественного анализа роста народонаселения. Конечно, рост численности населения сильно
различается по разным странам и даже в развитых странах темпы роста неодинаковы. Например, в