 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
79
где Х- вектор искомых переменных задачи (П1). То же в скалярной форме:
Двойственная задача к задаче линейного программирования (П1) может быть записана
следующим образом:
где Y - вектор искомых переменных задачи (П2).
То же в скалярной форме:
Все элементы матрицы А по предположению положительны, поэтому многогранные множества
задач (П1) и (П2) ограничены. Многогранник задачи (П1) не пуст, так как Х = 0 является
допустимым планом. Следовательно, задача (П1), а с ней (по первой теореме двойственности) и
задача (П2) разрешимы, и их функционалы в оптимальных планах совпадают (вторая теорема
двойственности):
(С, X*) = (У* В).
С учетом выбранных единичных векторов С и В получаем следующее соотношение:
Из условия YA
С следует, что Y*
0, поэтому
Положительность значения
v обеспечивается положительностью всех значений элементов
платежной матрицы А.
Обозначим U* = vY*, W* = vX*. Поскольку v, X*, Y* неотрицательны, то U*
0, W*
0.
Кроме того,
1,
1
*
m
i
i
u
1, так как по определению это частоты использования смешанных
1
*
n
j
j
w
стратегии, а сумма частот равна единице. По условиям прямой и двойственной задач АХ
В и YA
С.
Оптимальные планы этих задач обозначим X* и Y*, причем по предположению X* = W*/v , Y*= U*/v.
Поэтому
или
Умножим обе части неравенства (ПЗ) слева на произвольный w-мерный вектор
U
0, для
которого справедливо
где В - единичный вектор.
Получим:
UAM*
v(U,B) = v,