 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
55
x
x
dF(
a)
L(
a)
ML(
d
R(
)
|
,
,
)
,
,
где M - знак математического ожидания;
L(
, a) - функция потерь при состоянии природы
и d(
x
) = a.
В теории статистических функций любую неотрицательную функцию
L, определенную прямым
произведением
D, называют функцией потерь. Значение L(
,d) функции потерь L в произвольной
точке (
,
d)
D
интерпретируют как ущерб, к которому приводит принятие решений d, d
D, если
истинное значение параметра есть
,
.
Выражение
D
- прямое произведение множества состояний природы и множества функций
решения. Функция R(
, d) не является случайной величиной, а принимается как платеж статистика в
его игре с природой при следующих условиях:
• состояние природы фиксировано;
• функция решений выбрана, d
D.
Стратегическая игра (
, A, L) становится статистической, G = (
,
D, R), если используется
результат эксперимента - вектор
x
. Игра называется статистической, если в ней:
•
X
- множество n-мерных выборок;
• D - множество функций решений, которые преобразуют X
в А;
•
- множество состояний природы;
•
R(
, d) - функция риска.
Статистическая игра записывается как G = (
,
D, R). Данная игра является игрой двух лиц с
нулевой суммой, где d
D -функция решения статистика, а риск R(
, d) статистика - платеж природе.
Статистик может не прибегать к рандомизации, если он использует как оптимальную байесовскую
функцию решения r (см. разд. 6.2.1).
Рандомизация на стороне статистика проводится двумя методами:
1) применение решений а
А с определенными вероятностями (смешение решений);
2) смешение чистых функций решения d
D, т.е. рандомизация функций решения.
Чаще применяется второй метод.
Распределение вероятностей
на множестве D чистых функций решения
d называется
рандомизированной (смешанной) функцией решения статистика.
Функция риска становится случайной величиной, если экспериментатор применяет в
статистической игре случайную функцию решения
D*, т. е. когда каждой чистой функции реше-
ния d
D приписывается вероятность, с которой она должна использоваться.
Платежом будет математическое ожидание функции потерь, взятое для некоторого состояния
природы
при распределении
, определенном на множестве чистых функций решения D:
Если статистик использует случайные функции решения
D*, то этим расширяется (обобщается)
статистическая игра.
Расширенная статистическая игра (
,
D*, R) называется также смешанным расширением
статистической игры с рандомизацией на стороне статистика.
Дальнейшее расширение статистической игры может быть достигнуто при предположении, что
природа также «применяет» стратегию при «выборе» своего состояния
.
Априорное распределение вероятностей
на множестве
состояний природы означает
распределение до проведения эксперимента. Это априорное распределение
состояний природы
является случайной (смешанной) стратегией природы в статистической игре, где природа не
рассматривается как разумный игрок.
Если
предполагается случайной величиной с априорным распределением
, то риск
R(
,
)
становится случайной переменной при фиксированной функции решения
. В данном случае
математическое ожидание риска
R(
,
)
при априорном распределении
, задаваемом функцией
распределения G(
), определяется как
)
(
)dG
,
(
)d
,
(
)
,
(
)
,
(
R
R
MR
r
,
где r(
,
) -байесовский риск функции решения
с учетом априорного распределения
.