 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
13
m
j
j
i
ij
n
i
q
p
a
q
p,
A,
M
1
1
)
(
,
где
p
и q
- векторы;
р
i
и q
j
- компоненты векторов.
Путем применения своих смешанных стратегий игрок 1 стремится максимально увеличить свой
средний выигрыш, а игрок 2 - довести этот эффект до минимально возможного значения. Игрок 1
стремится достигнуть
)
,
,
(
max
min
q
p
A
M
p
q
.
Игрок 2 добивается того, чтобы выполнялось условие
)
,
,
(
min
max
q
p
A
M
q
p
.
Обозначим
0
p
и
0
q
векторы, соответствующие оптимальным смешанным стратегиям игроков 1 и
2, т.е. такие векторы
0
p
и
0
q
, при которых будет выполнено равенство
Цена игры
– средний выигрыш игрока 1 при использовании обоими игроками смешанных
стратегий. Следовательно, решением матричной игры являются:
1)
0
p
- оптимальная смешанная стратегия игрока 1;
2)
0
q
- оптимальная смешанная стратегия игрока 2;
3)
- цена игры.
Смешанные стратегии будут оптимальными (
0
p
и
0
q
), если
они образуют седловую точку для
функции
)
,
,
(
q
p
A
M
, т.е.
Существует основная теорема математических игр (доказательство см. в приложении).
Теорема 2.1. Для матричной игры с любой матрицей A величины
И
существуют и равны между собой:
.
Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован
средний выигрыш, не меньший, чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и,
наоборот, для игрока 2). Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в
состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными
от нуля. Значит, в состав оптимальных смешанных стратегий игроков могут входить не все априори
заданные их стратегии.
2.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ (ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ)
Решить игру - означает найти цену игры и оптимальные стратегии. Рассмотрение методов
нахождения оптимальных смешанных стратегий для матричных игр начнем с простейшей игры,
описываемой матрицей 2х2. Игры с седловой точкой специально рассматриваться не будут. Если
получена седловая точка, то это означает, что имеются невыгодные стратегии, от которых следует
отказываться. При отсутствии седловой точки можно получить две оптимальные смешанные
стратегии. Как уже отмечалось, эти смешанные стратегии записываются так:
Значит, имеется платежная матрица
При этом