 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
99
Итерация 5. На последней итерации, в связи с наличием начального условия
?
*
0
= 2, достаточно
вычислить
и найти
x
ˆ
0
(2) как точку минимума
?
0
(x
0
, 2) . Простые вычисления показывают, что минимум
достигается при x
0
(2) = 1.
Следовательно, x*
0
=
x
ˆ
0
(2)=1, после чего обратным ходом последовательно вычисляются
оптимальные управления и оптимальные состояния (оптимальная траектория):
Итак, результаты расчета свидетельствуют, что при заданной системе расценок в третьем месяце
выгоднее не брать 5-го работника, а компенсировать его отсутствие дополнительными выплатами за
сверхурочную работу имеющимся сотрудникам.
5.2.2. Динамические задачи управления запасами. Одной из наиболее известных сфер приложения
методов динамического программирования является такая область математической экономики, как
теория управления запасами. Ее предметом является разработка и исследование математических
моделей систем, занимающих промежуточное положение между источниками (производителями) тех
или иных ресурсов и их потребителями. При математической формализации процессов управления
запасами очень часто приходится использовать скачкообразные, недифференцируемые и кусочно-не-
прерывные функции. Как правило, это обусловливается необходимостью учета эффектов концентрации,
фиксированных затрат и платы за заказ. В связи с этим получаемые задачи с трудом поддаются
аналитическому решению классическими методами, однако могут быть успешно решены с помощью
аппарата динамического программирования. Рассмотрим достаточно типичную задачу, возникающую в
процессе планирования деятельности системы снабжения, — так называемую
динамическую задачу
управления запасами.
Пусть имеется некоторая система снабжения (склад, оптовая база и т. п.), планирующая свою работу
на п периодов. Ее деятельность сводится к обеспечению спроса конечных потребителей на некоторый
продукт, для чего она осуществляет заказы производителю данного продукта. Спрос клиентов (конеч-
ных потребителей) в данной модели рассматривается как некоторая интегрированная величина,
принимающая заданные значения для каждого из периодов, и он должен всегда удовлетворяться (т. е.
не допускаются задолженности и отказы). Также предполагается, что заказ, посылаемый
производителю, удовлетворяется им полностью, и временем между заказом и его выполнением можно
пренебречь (т. е. рассматривается система с мгновенным выполнением заказа). Введем обозначения:
y
k
— остаток запаса после (k-1)-го периода;
d
k
— заранее известный суммарный спрос в k-м периоде;
х
k
— заказ (поставка от производителя) в k-м периоде;
с
k
(х
k
) —затраты на выполнение заказа объема x
k
в k-м периоде;
s
k
(?
k
)
— ?
затраты на хранение запаса объема
k
в k-м периоде.
После получения поставки и удовлетворения спроса объем товара, подлежащего хранению в период
k, составит ?
k
= y
k
+ х
k
- d
k
. Учитывая смысл параметра y
k
, можно записать соотношение: