 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
95
Рассмотрим первый случай. Поскольку фиксированным является начальное количество работников
и, напротив, ничего не известно о том, каким это количество должно быть на последнем этапе, то
рассмотрение процесса принятия решений удобнее начать с конца. Оптимальное управление на
последнем этапе п по условию равно х*
n
=
x
ˆ
n
(?)=0, поэтому минимальные издержки полностью
определяются количеством работников в последнем периоде:
Для остальных предшествующих шагов основное рекуррентное соотношение примет вид
где
?
k
(?) — минимальные затраты с k-го по п-й периоды, в предположении, что количество работников
в k-й период равно
?
. Точки
x
ˆ
л
(?),
в которых достигаются минимумы (5.17), опреде
ляют условное
оптимальное управление на каждом шаге.
Последовательно определяя
x
ˆ
л
(?)
и дойдя до этапа 1, мы смо
жем найти безусловное оптимальное
управление x1*
из того условия, что на начало первого периода численность работников должна
составлять ?1* = m1 , a именно
Остальные компоненты оптимального плана х
k
* и состояния
?
k
*, образующие оптимальную
траекторию, последовательно находятся по рекуррентным формулам
после чего не составляет труда вычислить оптимальное значение целевой функции (5.15).
Остановимся теперь на втором случае, когда задано финальное состояние управляемого объекта, т. е.
желаемое количество работников на последнем периоде
?
n
*=
m
n
. Очевидно, что в данной ситуации
следует поступить с точностью «до наоборот» и рассмотреть процесс принятия решений от начала к
концу. Наилучшее условное управление на первом шаге
x
ˆ1
(?) будет найдено в процессе вычисления
функции
где состояние ? ?0 является возможным количеством работников на начальном шаге. Соответственно,
основное рекуррентное соотношение выразит минимальные издержки вплоть до k-го периода через
таковые для предыдущих периодов (с первого по (k-1)-й) при условии, что численность работников в k-
й период будет равна
?:
Попутно будут найдены функции
x
ˆ
k
(?), k?2:n, определяющие условные оптимальные управления.
На последнем периоде, в силу начального условия, ?
n
*= m
n
. Отсюда путем последовательного решения
рекуррентных уравнений могут быть найдены оптимальные численности работников ?*
k
и безусловные
оптимальные управления:
В заключение, как и в первом случае, подсчитывается минимальная величина издержек.