 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
59
Отсюда следует, что максимум F(x)
находится в допустимой области
D и совпадает с максимумом
целевой функции f(x) задачи (2.28):
Таким образом, задача (2.34), в определенном смысле, равносильна (2.28). Аналогичные выводы
могут быть получены и для (2.35). Задачи (2.34) и (2.35) образуют двойственную пару. Как нетрудно
догадаться, данное отношение является обобщением отношения двойственности для задач линейного
программирования. Соответственно, при определенных условиях пара двойственных задач нелинейного
программирования обладает свойствами, аналогичными свойствам двойственных линейных задач. В
частности, при любых х?Х, и?0
Условие (2.36) находит широкое применение при построении оценок в итеративных методах
решения оптимизационных задач. Например, если имеется возможность приблизительно решить
прямую и двойственную задачи и получить последовательности приближений {х
(q)
} и {и
(q)
}, то с
помощью неравенств вида
можно определить момент остановки вычислительной процедуры.
В заключение отметим, что возможен вариант вывода выражений для целевых функций и
ограничений пары двойственных задач линейного программирования из общего определения от-
ношения двойственности для нелинейных задач. Также отметим, что в процессе формирования
нелинейных двойственных задач существует большая неоднозначность: их вид можно варьировать,
включая в множество Х часть ограничений g
i
(x)?0.
КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ
Общая задача нелинейного программирования.
Условная и безусловная оптимизация.
Прямые и непрямые методы решения оптимизационных задач.
Стационарная точка.
Градиентные методы.
Метод наискорейшего спуска и методы дробления шага.
Выпуклая и вогнутая функции.
Матрица Гессе.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости).
Задача выпуклого программирования.
Допустимое направление.
Прогрессивное направление.
Седловая точка.
Теорема Куна—Таккера.
Условие регулярности Слейтера.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
2.1. При каких условиях оптимизационная задача может быть отнесена к классу нелинейных?
2.2. Приведите пример экономической модели, сводящейся к задаче нелинейного программирования.
2.3. Перечислите основные трудности, возникающие в процессе решения задачи нелинейного