 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
35
и подставив (1.57) в (1.56), приходим к выражению
Из формулы (1.58) вытекает экономическая интерпретация оптимальных переменных
двойственной задачи. Каждый элемент u
i
* может рассматриваться как предельная (мгновенная)
оценка вклада i-го ресурса в суммарный доход F при оптимальном решении х*. Грубо говоря,
величина u
i
*
равна приросту дохода, возникающему при увеличении ресурса i на единицу при условии
оптимального использования ресурсов.
В различных источниках компоненты оптимального плана двойственной задачи также называются
двойственными оценками или теневыми ценами, а Л.
В.
Канторович предлагал такой термин, как
объективно обусловленные оценки.
На основе теорем двойственности для пары задач ЛП в общей форме могут быть сформулированы
некоторые важные (с точки зрения экономической интерпретации) следствия.
Если при использовании оптимального плана прямой задачи i-e ограничение выполняется как
строгое неравенство, то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной
равно нулю, т.е. если
В рамках рассматриваемой задачи производственного планирования это означает, что если
некоторый ресурс b
i
, имеется в избыточном количестве (не используется полностью при реализации
оптимального плана), то i-e ограничение становится несущественным и оценка такого ресурса равна 0.
Если при использовании оптимального плана двойственной задачи j-e ограничение выполняется как
строгое неравенство, то оптимальное значение соответствующей переменной прямой задачи
должно быть равно нулю, т. е. если a
1,j
u1
*
+...а
m,j
и
m
– с
j
> 0, то х
j
*
=0.
Учитывая экономическое содержание двойственных оценок u1*,...,u
m
, выражение а1
,j
u1* +…a
m,j
u
m
*
может быть интерпретировано как удельные затраты на
j-й технологический процесс. Следовательно,
если эти затраты превышают прибыль от реализации единицы j-го продукта, то производство j-го
продукта является нерентабельным и не должно присутствовать в оптимальном производственном
плане (x
j
*
=0).
Несмотря на возможные аналогии, которые могут возникнуть у читателей, знакомых с такими
фундаментальными понятиями экономической теории, как предельные издержки и предельный доход,
двойственные оценки не следует однозначно отождествлять с ценами (хотя такие попытки иногда
предпринимались на начальной стадии становления исследования операций как науки). Еще раз
подчеркнем, что переменные двойственной задачи по своему смыслу являются оценками по-
тенциальной возможности получения дополнительной прибыли за счет увеличения соответствующего
ресурса в условиях оптимального функционирования управляемого экономического объекта.
1.6.5. Анализ параметрической устойчивости решений ЗЛП. В предыдущем пункте мы затронули
некоторые аспекты чувствительности и устойчивости оптимального плана по отношению к изменению
вектора ограничений b. Очевидно, что аналогичные вопросы могут быть поставлены для случая
вариации коэффициентов целевой функции с
j
,
j
1:n.
С точки зрения экономической интерпретации задача исследования параметрической устойчивости
может быть рассмотрена как изучение тех пределов колебания цен на продукцию управляемого
предприятия (фирмы), при которых принятый план выпуска продукции продолжает оставаться
оптимальным.
Также содержание проблемы устойчивости оптимального плана ЗЛП по отношению к вариациям
целевой функции может быть проиллюстрировано с помощью первой геометрической интерпретации.
На рис. 1.10 изображено множество допустимых планов D некоторой задачи ЛП. Как видно из рисунка,