 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
112
задачи (6.27)-(6.29) функцию Лагранжа
где
?
t
—
вектора множителей Лагранжа (t?0:Т). Ограничения (6.29), носящие общий характер, в
функцию (6.30) в данном случае не включены. Запишем ее в несколько иной форме
Необходимые условия экстремума функции Ф(х, z, ?)
по со
вокупности векторов z
t
задаются системой
уравнений
которая называется системой для сопряженных переменных. Как можно заметить, процесс нахождения
параметров
?
t
в системе (6.32) осуществляется рекуррентным образом в обратном порядке.
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа по переменным
?
t
будут эквивалентны
ограничениям (6.28), и, наконец, условия ее экстремума по совокупности векторов х
t
?Х
t
, t?1:(Т-1)
должны быть найдены как результат решения задачи
Таким образом, задача поиска оптимального управления сводится к поиску управлений,
подозрительных на оптимальность, т. е. таких, для которых выполняется необходимое условие оп-
тимальности. Это, свою очередь, сводится к нахождению таких
z
t
,
x
t
,
t
, удовлетворяющих системе
условий (6.28), (6.32), (6.33), которая называется дискретным принципом максимума Понтрягина.
Справедлива теорема.
Теорема 6.2. Совокупность векторов
z
t
,
x
t
,
t
, удовлетворяющих системе (6.28), (6.32), (6.33),
образует седловую точку функции Ф(х, z, ?) (6.30), т. е. при любых допустимых х, z, ? выполняются
неравенства
Доказательство.
Пусть
z
t
,
x
t
,
t
,
удовлетворяют системе (6.28), (6.32), (6.33). Тогда из (6.31) и (6.32) следует, что
и поскольку
x
t
удовлетворяет (6.33), то