 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
111
времени с любого склада не может быть вывезен объем продукта, превышающий его фактическое
количество, а
ограничения (6.21) задают правила изменения этого количества при переходе от одного
периода к другому. Ограничения данного вида, которые задают условия
на значения параметров
состояния системы, принято называть фазовыми.
Отметим также, что условие (6.21) служит простейшим примером фазовых ограничений, поскольку
связываются значения параметров состояния для двух смежных периодов t и t+l. В общем случае может
устанавливаться зависимость для группы параметров, принадлежащих нескольким, возможно не-
смежным, этапам. Такая потребность может возникнуть, например, при учете в моделях фактора
запаздывания поставок.
Простейшая динамическая модель макроэкономики. Представим экономику некоторого региона как
совокупность п отраслей (j?1:п), валовой продукт которых в денежном выражении на некоторый момент t может
быть представлен в виде вектора
z
t
=(z
t
1
, z
t
2
,...,
z
t
n
), где t?0:(Т-1). Обозначим через A
t
матрицу прямых затрат,
элементы которой a
t
i,j
, отражают затраты продукции i-й отрасли (в денежном выражении) на изготовление
единицы продукции j-й отрасли в t-й момент времени. Если X
t
=
¦
x
t
i,j
¦
nxm
— матрица, задающая удельные нормы
продукции i-й отрасли, идущей на расширение производства в j-й отрасли, а у
t
=
(у
t
1
, у
t
2
,
..., у
t
n
) —
вектор объемов продукции отраслей потребления, идущей на потребление, то условие расширенного
воспроизводства можно записать как
где z
0
= z — исходный запас продукции отраслей предполагается заданным и
В рассматриваемой модели величины
z
t
являются параметрами состояния системы, а X
t
—
управляющими параметрами. На ее базе могут быть поставлены различные задачи, типичным
представителем которых является задача оптимального вывода экономики на момент Т к некоторому
заданному состоянию
z*. Данная задача сводится к отысканию последовательности управляющих
параметров
удовлетворяющих условиям (6.24)-(6.25) и минимизирующих функцию
6.2.2. Простейшая задача оптимального управления. Один из приемов, применяемых для решения
экстремальных задач, состоит в выделении некоторой проблемы, допускающей относительно
несложное решение, к которой в дальнейшем могут быть сведены остальные задачи.
Рассмотрим так называемую простейшую задачу управления. Она имеет вид
Специфика условий задачи (6.27)-(6.29) состоит в том, что функции качества управления (6.27) и
ограничения (6.28) являются линейными относительно z
t
, в то же время функция g(t,
х
t
), входящая в
(6.28), может быть произвольной. Последнее свойство делает задачу нелинейной даже при
t=1, т. е. в
статическом варианте.
Общая идея решения задачи (6.27)-(6.29) сводится к ее «расщеплению» на подзадачи для каждого
отдельно взятого момента времени, в предположении, что они успешно разрешимы. Построим для