 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
108
или
т. е. ожидаемые выигрыши могут быть представлены в виде графиков линейных функций, зависящих от
переменной x1 ? [0; 1] (рис. 6.1, где предполагается, что игрок II имеет три стратегии).
Линии, изображенные на рис.
6.1, задают зависимости среднего выигрыша игрока I от значения
вероятности x1 , с которой он выбирает свою первую стратегию, для случаев, когда его противник
выбирает первую, вторую или третью чистую стратегию. Тогда значениям минимального
гарантированного дохода первого игрока соответствует нижняя огибающая всех трех прямых. Согласно
принципу максимина, оптимальному выбору игрока I будет соответствовать наивысшая точка, лежащая
на данной огибающей, отмеченная на рисунке как (x1*,
z*). Зная ее, можно определить оптимальную
смешанную стратегию первого игрока х* = (x1*, 1-x2*) и цену игры, равную z*.
Исходя из отношения двойственности, которым, как было установлено в п. 6.1.5, связаны задачи
обоих игроков, по оптимальной стратегии первого участника х* однозначно определяется оптимальная
стратегия его противника у*. Поскольку у*
является результатом решения задачи линейного
программирования, то он обладает всеми свойствами допустимого базисного плана, т. е. в случае 2 х п
игры имеет не более чем две ненулевых компоненты и не менее чем (п-2) нулевых. Номера ненулевых
элементов у* определяются номерами линий, пересечение которых определило оптимальную стратегию
первого игрока. Действительно, игрок II знает оптимальную стратегию соперника, и применение им
стратегий, соответствующих прямым, проходящим выше точки (х1*,
z*), только увеличило бы его
проигрыш.
В рассматриваемом примере это линии z2 и z3, и, следовательно, в своей оптимальной стратегии
второй игрок должен с ненулевыми вероятностями применять вторую и третью чистые стратегии (у2 >0,
у3 >0). На основе этого, а также учитывая условие нормировки
можем выразить: y3 = l – y2 тогда оптимальное значение y2* может быть найдено из условия
или
В результате получаем оптимальную стратегию игрока II у*= (0, у2*, у3*).