 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
104
Строки матрицы (6.1) соответствуют стратегиям игрока I, столбцы — стратегиям игрока II, а ее
элементы — результатам первого игрока. Также из определения игры следует, что элементы данной
матрицы, взятые с обратным знаком, соответствуют выигрышам второго игрока.
Более сложная и содержательная платежная матрица может быть получена, если несколько
модифицировать предложенную игру. Допустим, что оба участника имеют право загадывать числа от 1
до 4, что составляет их соответствующие стратегии. В случае, если результат сложения задуманных
чисел будет четным, то второй игрок выплачивает первому получившуюся сумму, а если нечетным, то
первый — второму. Запишем платежную матрицу для такой игры:
Некоторая условность и искусственность в постановке проблемы не должны в данном случае нас
смущать, так как к подобной форме может быть сведена модель, описывающая, например,
соревнование двух фирм за вновь открывшийся рынок сбыта продукции и т. п.
Как уже отмечалось, важнейшим в теории игр является вопрос об оптимальности решения (выбора
стратегии) для каждого из игроков. Проанализируем с этой точки зрения некоторую матричную игру,
для которой задана платежная матрица А=¦a
ij
¦
mxn
. При выборе игроком I стратегии i его гарантирован-
ный доход независимо от действий игрока II составит min a
i,j
. Поскольку он может выбирать i
самостоятельно, то целесообразно этот выбор сделать таким, чтобы он при любой стратегии противника
максимизировал величину гарантированного дохода, т. е. обеспечивал получение max (min a
i,j
). Такой
принцип выбора стратегии получил название «принцип максимина». С другой стороны, аналогичные
рассуждения могут быть проведены по поводу действий второго игрока. Его наибольший проигрыш
при выборе стратегии j составит max a
i,j
, и, следовательно, ему следует выбирать стратегию так, чтобы
минимизировать величину проигрыша при любых действиях соперника, т. е. обеспечить min (max a
i,j
). в
этом суть принципа минимакса.
Можно доказать справедливость следующего соотношения:
Однако очевидный интерес представляет ситуация, при которой значение выигрыша (платежа),
получаемого игроком I при выборе им максиминной стратегии, равно платежу (проигрышу) II-го игрока
при минимаксной стратегии
В этом случае говорят, что игра имеет седловую точку. Совпадение значений гарантированных
выигрышей игроков при максиминной и минимаксной стратегии означает возможность достижения в
игре некоторого оптимального (стабильного, равновесного) состояния, от которого невыгодно
отклоняться ни одному из участников. Понятие «оптимальность» здесь означает, что ни один разумный
(осторожный) игрок не стремится изменить свою стратегию, так как его противник, в принципе, сможет
выбрать такую стратегию, которая даст худший для первого результат. Стратегии i* и j*, образующие
седловую точку, называются оптимальными, а значение v = a
i*j*
называют ценой игры. Тройка (i*, j*, v)
считается решением матричной игры с седловой точкой.