 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
59
таковыми, если вместо переменных либо подставляются конкретные высказывания, либо, если они
связываются кванторами, квантифицируются. На этом основании вводится разделение переменных на
связанные и свободные.
Связанными называются переменные, подпадающие под действие знаков кванторов общности или
существования. Например, формулы (х)
А (х) и (х) (Р (х)
>
Q(x)) содержат переменную х. В первой
формуле квантор общности стоит непосредственно перед предикатом А(х), вовторой – квантор
распространяет свое действие на переменные, входящие в предыдущий и последующий члены
импликации. Аналогично этому квантор существования может относиться как к отдельному предикату,
так и к их комбинации, образованной с помощью логических операций отрицания, конъюнкции,
дизъюнкции и др.
Свободная переменная не подпадает под действие знаков кванторов, поэтому она характеризует
предикат или пропозициональную функцию, а не высказывание.
С помощью комбинации кванторов можно выразить на символическом языке логики достаточно
сложные предложения естественного языка. При этом высказывания, где речь идет о существовании
объектов, удовлетворяющих определенному условию, вводятся с помощью квантора существования.
Например, утверждение о существовании радиоактивных элементов записывается с помощью
формулы:
(Ex) R(x),
где R обозначает свойство радиоактивности.
Утверждение, что существует опасность для курящего заболеть раком, можно выразить так: (Ех)
(К(х)
>
P(x)), где К обозначает свойство "быть курящим", а Р –
"заболеть раком". С известными
оговорками то же самое можно было выразить» посредством квантора общности:
(х) (К(х)
>
Р(х)).
Но утверждение, что всякий курящий может заболеть раком, было бы некорректным,
и поэтому его лучше всего записать с помощью квантора существования, а не общности.
Квантор общности используется для высказываний, в которых утверждается, что определенному
предикату А удовлетворяет любой объект из области его значений. В науке, как уже говорилось,
квантор общности используется для выражения утверждений универсального характера, которые
словесно представляются с помощью таких фраз, как "для всякого", "каждый", "всякий", "любой" и т.п.
Путем отрицания квантора общности можно выразить общеотрицательные высказывания, которые в
естественном языке вводятся словами "никакой", "ни один", "никто" и т.п.
Разумеется, при переводе на символический язык утверждений естественного языка встречаются
определенные трудности, но при этом достигается необходимая точность и однозначность выражения
мысли. Нельзя, однако, думать, что формальный язык богаче естественного языка, на котором
выражаются не просто смысл, но и разные его оттенки. Речь поэтому может идти только о более точном
представлении выражений естественного языка как универсального средства выражения мыслей и
обмена ими в процессе общения.
Чаще всего кванторы общности и существования встречаются вместе. Например, чтобы выразить
символически утверждение: "Для каждого действительного числа
х существует такое число у, что х
будет меньше у", обозначим предикат "быть меньше" символом <, известным из математики, и тогда
утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х <
у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х
всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в
нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в
переводе на обычный язык оно означает, что существует число у,
которое будет больше любого
действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.
Из самого определения кванторов общности и существования непосредственно следует, что между
ними существует определенная связь, которую обычно выражают с помощью следующих законов.
1. Законы перестановки кванторов:
(х) (у) А ~ (у) (х) А;
(Ех) (Еу) А ~ (Еу) (Ех) А;
(Ех) (у) А ~ (у) (Ех) А;
2. Законы отрицания кванторов:
¬ (х) А ~ (Ех) ¬ А;
¬ (Ех) А ~ (х) ¬ А;
3. Законы взаимовыразимости кванторов: