 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
56
существования. Но все эти понятия никак не использовались в исчислении высказываний, где
последние берутся как нечто единое, нерасчлененное целое. Нередко поэтому отдельные высказывания
рассматриваются как логические атомы, образующие посредством логических операций – отрицания,
конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции – сложные высказывания, или молекулы.
Теперь наступило время перейти к более глубокому анализу высказываний, связанному с изучением
их внутренней логической структуры. Уже традиционная логика в своем учении о силлогизмах
опиралась на субъектно-предикатную структуру суждений и учитывала их количественную
характеристику с помощью таких слов, как "все", "любой", "каждый", "никакой", "некоторые" и т.п.
Как отмечалось в гл. 1, современная логика отличается от традиционной как по глубине и точности
исследования, так и по широте применения своих методов. Если традиционная логика ограничивалась
логическим анализом отношений между предметами и их свойствами, то современная логика
анализирует различные отношения между самими предметами. В результате логика свойств выступает
хотя и как важный, но частный случай логики отношений. Тем не менее и с исторической и с
практической точек зрения представляется целесообразным обсудить в этой главе элементы теории
силлогизмов, во-первых, потому, что такие умозаключения широко используются в повседневных и
даже научных рассуждениях, во-вторых, потому, что читатель может сравнить традиционный подход с
современным и убедиться в значительной эффективности и точности последнего.
4.1. Свойства, отношения и предикаты
Свойства вещей реального мира представляют собой результат взаимодействия их с другими
вещами, ибо без этого они не могли бы проявиться и мы не были бы в состоянии судить о них. В самом
деле, мы говорим, например, что алмаз является самым твердым минералом, а графит – мягким потому,
что они различаются по свойству твердости и пластичности.
В традиционной логике свойство отображается в суждении
предикатом, а вещь, которой
принадлежит это свойство, – субъектом. Следует, однако, различать субъект и предикат в грамматике и
логике, подобно тому
как мы различаем предложение и суждение (высказывание) Суждения, имеющие
субъектно-предикатную структуру, отображают часто встречающиеся в действительном мири связи
между вещами, событиями и явлениями, с
одной
стороны, и их свойствами и признаками, с другой.
Именно эти связи и стали предметом изучения традиционной логики. Хотя различные виды отношений,
такие, как
"больше", "меньше", "выше", "ниже", "дальше", "ближе" и т.п., не говоря уже об отношениях
родства встречаются часто, но традиционная логика либо совершенно не интересовалась логическим
анализом отношений, либо пыталась свести их к субъектно-предикатной структуре.
Впервые изучением логики отношений занялись математики, и ее основоположником считается
английский математик и логик О. де Морган. Интерес к данной логике со стороны математиков вовсе
не случаен, поскольку именно в этой науке встречаются самые разнообразные отношения (равенства,
неравенства, подобия, между, включения, конгруэнтности, параллельности и т.д.). Такие отношения
представлены в формулировке аксиом различных математических дисциплин, и поэтому для
доказательства теорем необходимы точные определения тех логических операций, которые можно
производить над отношениями.
С логической точки зрения отношения можно рассматривать как обобщение обычного предиката
традиционной логики, выражающего свойства предметов. Если этот предикат характеризует один-
единственный предмет или, как мы будем говорить в дальнейшем, объект, то в логике отношений он
определяет отношение между разными объектами. Так, когда мы говорим, что число 5 больше, чем 3, то
тем самым устанавливаем между ними отношение "больше" по величине.
Отношение между двумя объектами называют бинарным, (двучленным), между тремя – тернарным
и т.д. Объекты, которые заполняют эти места, характеризуют соответствующий предикат.
Символически это представляется так:
Р (x¹, x²,..., хn),
где Р обозначает предикат, a x¹, х²,..., хn – соответствующие объекты. Если п = 0, тогда предикат будет
нерасчлененным высказыванием, которое рассматривалось в предыдущей главе, при п = 1 предикат
представляет свойство, при n = 2 – бинарное отношение, при п = 3 – тернарное отношение и т.д.
С логико-математической точки зрения предикат можно рассматривать как пропозициональную
функцию. В отличие от математических функций, где аргументами служат числа и другие
математические объекты, в пропозициональной функции аргументами являются только высказывания.
Если такой предикат выражает свойство, например "быть студентом", то, подставив вместо аргумента х
фамилии разных лиц, мы получим различные высказывания, истинные и ложные, т.е., если Иванов